Niveau terminale

exos fonctions type bac !

Posté par snow (invité) 25-04-05 à 16:05

Deuxieme fois dans la journée....

Bon, ce coup-ci, voila le problème :

Enoncé : Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]1;+\infty[$ par :

$g(x)=\frac{1}{x(x^2-1)}$

Question : déterminer les nombres réels a, b, et c tels que l'on ait, pour tout $x>1$ :

$g(x)= \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1} + \frac{c}{x-1}$

Posté par dolphie (invité)re : exos fonctions type bac ! 25-04-05 à 16:09

salut,

il suffit de mettre au même dénominateur l'expression attendue et d'égaliser les termes de même exposant pour x:

$g(x)=\frac{a(x-1)(x+1)+bx(x-1)+cx(x+1)}{x(x^2-1)}$
$g(x)=\frac{(a+b+c)x^2+(-b+c)x-a}{x(x^2-1)}$

ainsi:
a+b+c=0
c-b=0
-a=1

on trouve donc:
a=-1
b=1/2 et c=-1/2
sauf erreur de calcul

Posté par snow (invité)re : exos fonctions type bac ! 25-04-05 à 16:14

l'erreur de calcul dont tu parle, c'est moi qui l'ait faites !
Je vous dérange vraiment pour pas grand choses, je suis vraiment désolé.

erreur commise : $x(x-1) = x^2-1$ !!! vraiment trop bête comme erreur, mais bon, vaut mieux maintenant que pour le bac !

Posté par snow (invité)re : exos fonctions type bac ! 25-04-05 à 16:28

en faites je suis pas le seul à faire des erreurs :

a+b+c=0
c-b=0 b=c
-a=1

donc a=-1, b=1/2 et c=1/2 également

Posté par snow (invité)re : exos fonctions type bac ! 26-04-05 à 13:24

pas fini encore....

d'après le résultat trouvé plus haut, j'en ai déduit donc la primitive G de $g$ sur l'intervalle $]1;+\infty[$ :

$\red \fbox{g(x)=\frac{-1}{x}+\frac{1}{2}\ln{(2x+2)}+\frac{1}{2}\ln{(2x-2)}}$

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]1;+\infty[$ par :

$f(x)=\frac{2x}{(x^2-1)^2}$

Trouver une primitive F de $f$ sur l'intervalle $]1;+\infty[$ .

Primitive trouvée : $\red \fbox{F(x)=\frac{-1}{(x^2-1)}}$

Question d'après : En utilisant les résultas obtenus précédemment, calculer :

$\int_2^{3} \frac{2x}{(x^2-1)^2}\ln{x}dx$

On donnera les résultats sous la forme p $\ln{2}$ +q $\ln{3}$ , avec p et q rationnels.

Un peu d'aide s'il vous plait, le résultats final me premettrait de savoir si j'ai fait une erreur de calcul..

Posté par snow (invité)re : exos fonctions type bac ! 26-04-05 à 21:25

svp!

Posté par re : exos fonctions type bac ! 26-04-05 à 21:33

Bonjour

En faisant une Intégration par partie et en utilisant tes résultats précédent j'ai trouvé comme primitive :
$3$\rm\Bigint \frac{2xln(x)dx}{(x^{2}-1)^{2}}= 2 \left( { 1 \over 2} \left( { 1 \over 2} \log \left( \left|x^2 -1 \right|\right) - \log \left(x\right)\right) - { 1 \over 2 \left(x^2 -1 \right) } \log \left(x\right)\right) +C$

Jord

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