Niveau maths spé

Exponentielles complexes

Posté par
matix 20-01-10 à 00:49

Bonsoir,

On me dit que l'expression ci-dessous ne s'annule pas uniquement lorsque les entiers $h$ , $k$ et $l$ ont même parité:

$\displaystyle A = 1 + \displaystyle e^{-2i \pi \displaystyle \frac{h+l}{2}} + \displaystyle e^{-2i \pi \displaystyle \frac{k+l}{2}} + \displaystyle e^{-2i \pi\displaystyle \frac{h+k}{2}}$ .

Tout d'abord, je ne vois pas très bien comment parvenir à cette conclusion.

Et d'autre part, en prenant par exemple $h=1$ , $k=0$ et $l=1$ , je trouve que l'expression est égale à $-2 \not = 0$ .. Fais-je erreur?

Merci d'avance.

Posté par re : Exponentielles complexes 20-01-10 à 06:58

Bonjour,

Dans ce cas, le plus simple est encore de prendre tous les cas possibles et de vérifier ce que donne la somme. Il n'y a pas tant de cas que ça.

Pour ton exemple, je trouve que ça fait bien 0.

$A = 1 + \displaystyle e^{-2i \pi \displaystyle \frac{h+l}{2}} + \displaystyle e^{-2i \pi \displaystyle \frac{k+l}{2}} + \displaystyle e^{-2i \pi\displaystyle \frac{h+k}{2}} = 1 + \displaystyle e^{-2i \pi \displaystyle \frac{1+1}{2}} + \displaystyle e^{-2i \pi \displaystyle \frac{0+1}{2}} + \displaystyle e^{-2i \pi\displaystyle \frac{1+0}{2}} = 1 + \displaystyle e^{-2i \pi} + \displaystyle e^{-i \pi} + \displaystyle e^{-i \pi}=1+1-1-1=0$

Posté par re : Exponentielles complexes 20-01-10 à 07:33

Bonjour,

Merci pour la réponse, c'est moi qui me suis trompé dans les calculs en effet..

Bonne journée!

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