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Extrma locaux d'une fonction.
Bonjour,
Je sois chercher de deux façons différentes les extrema locaux de la fonction f : R2 -> R définie par
f(x, y) = xey + yex
Premièrement je vais chercher les points critiques de la fonction (où le gradient s'annule) puis je vais faire la matrice hessienne de cette fonction et regarder pour chaque point critique si la matrice est positive ou négative. Cependant je bloque au niveau de la recherche des points critiques (comme souvent d'ailleurs).
Car on a grad(f(x,y)) = 0 
ey+yex = 0 ET xey+ex = 0
J'ai essayé d'exprimer ex en fonction de y et de substituer ex par cette expression dans la deuxième expression mais j'obtiens du ex=-x/e(1/x) ET x=1/y c'est pas top...
Si je soustrait la deuxième dans la premiere et additionne la deuxiemme dans la première j'arrive à du x=0 ET y= -ey - 1
Je ne vois vraiment pas comment résoudre ce système.
Merci par avance de votre.
Bonjour !
Tu es sur la bonne voie en ce qui concerne la recherche des points critiques.
La seule chose qui te reste à faire est de continuer à résoudre le système :
Pour cela, considère la fonction définie sur
par
En calculant sa dérivée, tu peux montrer qu'elle est strictement croissante ; de plus, g(-1)=0. Dès lors, ...
Cordialement,
r2.
Salut r2!
merci d'avoir répondu,
Donc la dérivée de la fonction g étant strictement positive sur on peut conclure que g est strictement croissante sur . Les limites de g étant -
et + la fonction ne prend qu'une seule fois la valeur 0, c'est en -1. Ainsi on a un seul point critique en (-1,1).
Je construis la matrice hessienne et remarque donc que les mineurs principaux sont tous strictements négatifs donc on ne peut rien dire quant au signe de la matrice. Puis-je conclure directement que la fonction f n'a donc pas d'extremum local? Ou alors faut-il aller encore plus loin en faisant un développement limité au voisinage de (-1,-1)? Si tel est le cas comment utiliser le dl?
Merci 
Si (x,y) est un point critique de f on a xey + ex = 0 et yex + ey = 0 donc xey = -yey donc x = y et xex + ex = 0 donc x = -1 et aussi y = -1 .
Effectivement (-1,-1) est critique pour f .
Comment utiliser la matrice hessienne Hf(-1,-1) ?
Si on a oublié ce qui a été raconté en cours on peut opérer comme ça (mais il faut ne pas avoir oublié TAYLOR)
On a : f(-1+x,-1+y) = f(-1,-1) + xD1f(-1,-1) + yD2f(-1,-1) + 1/2(x2D11f(-1,-1) + 2xyD12f(-1,-1) + y2D22f(-1,-1)) + (x2 + y2)R(x,y) où R(x,y) tend vers 0 lorsque (x,y) tend vers (0,0)
Ici (sauf erreur) :f(-1+x,-1+y) - f(-1,-1) = 1/2((1/e)x2 + 4xy -(1/e) y2 + (x2 + y2)R(x,y)
Pour (x,y) assez petit le signe de 
(x,y) = f(-1+x,-1+y) - f(-1,-1) est celui de -(1/e)x2 + 4xy -(1/e) y2 donc de 
(x,y) = -(x2 - 4exy + y2) = (4e2 - 1)y2 - (x - 2ey)2
Comme (x,o) < 0 pour tout x 
0 et (2ey,y) > 0 pour tout y 0 on voit que f ne presente aucun extr^éma en (-1,-1) . Le graphe de f a la forme d'une selle autour du point (-1,-1,f(-1,-1))
Bonjour Rossjojos !
Dans mon premier message, j'ai été quelque peu imprécis : la fonction g n'est pas définie en 0.
Il faut donc montrer que cette fonction ne s'annule pas dans les réels strictement positifs (ce qui est évident).
Et montrer qu'elle ne s'annule qu'en -1 du côté des réels strictement négatifs. C'est ici que l'on utilise le fait que sa dérivée est strictement positive (pour les réels strictement négatifs) et que g(-1)=0.
Cordialement,
r2.
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