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factorielles et divisibilité
bonsoir, voila mon exercice:
Partie A
Soit E={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
Déterminer les paires {a; b} d'entiers distincts de E tels que le reste de la division euclidienne de ab par 11 soit 1
Partie B
1. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3
a) L'entier (n-1)! + 1 est-il pair?
b) L'entier (n-1)! + 1 est-il divisible par un entier naturel pair?
2. Prouver que l'entier (15-1)!+1 n'est pas divisible par 15
3. L'entier (11-1)!+1 est-il divisible par 11?
Partie C
Soit p un entier naturel non premier (p
2)
1. Prouver que p admet un diviseur q (1<q<p) qui divise (p-1)!
2. L'entier q divise-t-il l'entier (p-1)!+1 ?
3. L'entier q divise-t-il l'entier (p-1)!+1 ?
pour la partie A j'ai trouvé:
comme a et b sont des entiers distincts la plus grande valeur de ab est 10*9=90
si le reste de la division euclidienne de ab par 11 est 1 alors ab=k11+1
les valeurs de ab sont donc: 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89
en regardant les diviseurs j'arrive aux couples suivants:
(2;6) , (4;3) (5;9) et (8;7)
Est-ce que je l'ai ai tous?
Bonjour
oui ils sont tous là.
Pour la suite :
n étant supérieur à 3, (n-1)! est un multiple de 2, et tu as ta réponse.
si (n-1)!+1 était divisible par un nombre pair, il serait divisible par 2.
(15-1)!=1
23....14=35k
donc (15-1)! est donc divisible par 15.
si (15-1)! +1 était divisible par 15, ce dernier diviserait donc 1. D'où la conclusion.
...
Eh bien dans 1*2*3*4*5*...*14, on peut bien sûr mettre 3 en facteur, et dans le facteur restant on peut mettre 5 en facteur.
Bref dans cette expesssion on peut mettre 3*5 en facteur, et le facteur restant est l'entier k=1*2*4*6*7*...*14
pour L'entier (11-1)!+1 est-il divisible par 11?
(11-1)!=1*2*3.....*10=?
je suis bloqué. ça a l'air d'avoir un lien avec la partie A mais...je sais pas
bonsoir, voila mon exercice:
Partie A
Soit E={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
Déterminer les paires {a; b} d'entiers distincts de E tels que le reste de la division euclidienne de ab par 11 soit 1
Partie B
1. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3
a) L'entier (n-1)! + 1 est-il pair?
b) L'entier (n-1)! + 1 est-il divisible par un entier naturel pair?
2. Prouver que l'entier (15-1)!+1 n'est pas divisible par 15
3. L'entier (11-1)!+1 est-il divisible par 11?
Partie C
Soit p un entier naturel non premier (p2)
1. Prouver que p admet un diviseur q (1<q<p) qui divise (p-1)!
2. L'entier q divise-t-il l'entier (p-1)!+1 ?
3. L'entier q divise-t-il l'entier (p-1)!+1 ?
J'ai déjà commencé mais je suis bloqué à la question 3 de la partie B.
J'arrive pas à démontrer
*** message déplacé ***
Comme tous les dimanches soir, il y a trop de questions pour qu'elles puissent toutent être traitées...
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