Oups petite erreur !

P(x) = x⁴ - x³ + x² + x - 2

Bonjour

En effet x=1 est racine, donc tu peux déjà factoriser par (x-1).

Deux manières possibles :

* Soit tu connais la division de polynômes et tu effectues celle de P par (x-1).
* Soit pas, et alors tu écris que tu identifies en développant avec P.

Si 1 est une racine double je ne pourrais pas plutôt écrire :

P(x) = (x-1)²(ax³ + bx² + cx + d)

Décidément, plutôt :

P(x) = (x-1)²(ax² + bx + c)

Bonjour,

Non, ça ne se fait pas au hasard. Si a est racine de P (ie si P(a)=0), alors P se factorise en (x-a)Q (où Q est un polynôme d'un degré de moins que P).
Par exemple : P(x)=x^3-2x^2+3x-2 a une racine évidente qui est 1, donc on peut écrire P(x)=(x-1)Q(x). Puisque P est de degré 3, Q est de degré 2 : Q(x)=ax^2+bx+c, reste à trouver a, b et c.
P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c) --> tu développes et réduis, puis tu identifies avec x^3-2x^2+3x-2 "coefficient par coefficient" :
on trouve P(x)=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c, d'où le système (en identifiant) :
a=1
b-a=-2
c-b=3
-c=-2
on résout, on trouve a=1, b=-1, c=2 d'où finalement P(x)=(x-1)(x^2-x+2).

Ça c'était la méthode générale. Pour ton exemple, tu peux faire pareil (1 est racine évidente : P(1)=0). Je trouve :
P(x)=(x-1)(x^3+(1-l)x^2+(-l+2)x+2)

Par contre, je trouve que 1 n'est pas racine double (seulement simple) ... enfin à moins qu'on soit dans le cas .

En fait : 1 est racine de P, et -1 aussi.
Tu peux factoriser par (x-1)(x+1).

Sauf que 1 n'est pas racine double

Bonjour critou

On voit que P'(1) est non nul, donc 1 racine simple.

Si 1 est une racine double !
J'ai oublié de préciser que l'on devait déterminer la condition sur

J'ai donc dit que 1 est une racine dble ssi P'(1) = 0, je trouve donc =2
J'ai donc écrit que P(x) = x⁴ - 2x³ + x² + - 2

D'ou P(x) = (x-1)²(ax² + bx +c)
Je développe et je trouve a = 1 / b = c = -2

Oups, me suis plantée, c'est pour que P'(1)=0.

Et alors