EFGH est un rectangle, avec EH=a et EF=2a. M est le milieu de [FG] et K est défini par : HK=1/3 de HG. L est le projeté orthogonal de K sur (EM).
1° Calculer en fonctioin de a les produits scalaires : EF.Em et EH.EK
2° En calculant de plusieurs facons le produit scalaire EK.EM, déterminer :
  a) la valeur de la longueur EL en fonction de a
  b) une mesure de l'angle KEM (à 0.1)° près).


1°
F est le projeté orthogonal de M sur (EF) donc
EF.EM = EF*EH
EF.EM = EF^2 = 4a^2

K est le projeté orthogonal de H sur (EH) donc
EH.EK = EH*EH
EH.EK = EH^2 = a^2

2°
D'après la relation de Chasles on peut dire que
EK.EM = (EH+HK).(EF+FM)
EK.EM = EH.EF + EH.FM + HK.EF + HK.FM
EK.EM = 0 + EH.FM + HK.EF + 0

En effet, EFGH étant un rectangle, les angles EHG ; HGF ; GFE et FEH sont droit. Les vectuers EH et EF ainsi que les vecteurs HK et FM sont donc perpendiculaires. Les vecteurs sont donc orthogonaus, leur produit scalaire est nul.

~ EH.FM = EH*FM
  EH.FM = a*1/2a = 1/2a^2

~ HK.EF = HK*EF
  HK.EF = 1/3 HG*2a
  HK.EF = 2/3a*2a = 4/3a^2

EK.EM = 0 + EH.FM + HK.EF + 0
EK.EM = 1/2a^2 + 4/3a^2
EK.EM = 3/6a^2 + 8/6a^2 = 11/6a^2

Cette équation nous servira à connaître la mesure de l'angle KEM une fois que la longueur EL sera connue.

  a) ???? je ne sais pas comment trouver la longueur EL ????

  b)
EK.EM = EL*EM*cos(KEM)

Etant inclu dans un rectangle, le triangle EFM est donc droit en F. D'après le théorème de Pythagore on peut donc trouver la longueur du segment EM
~ EM^2 = MF^2+EF^2
  EM^2 = (1/2a)^2+(2a)^2
  EM^2 = 1/4a^2 + 4a^2
  EM^2 = 1/4a^2 + 16/4a^2 = 17/4a^2

~ V(EM^2) = a(17/4)

EK.EM = EL*EM*cos(KEM)
11/6a^2 = EL* a(17/4) * cos(KEM) équivaut à cos(KEM) = [EL*a(17/4)] / 11/6a^2