Bonjour, voici le problème :
Pour tout réel n >= 2
f_n(x) est définie sur [0; 1] par f_n(x) = xⁿ -nx +1
(un dessin des 4 premières courbes est donné, toutes partant du point {0;1})
Ainsi, pour n=2, f₂ = x² -2x + 1 et correspond à la courbe C₂
Questions :
1) Après avoir conjecturé le résultat, étudiez les positions relatives des courbes C_n , C_n+1
2) Démontrez que f_n(x)=0 n'admet qu'une et une seule solution a_n sur [0;1]
3) ...

Conjecture : Sur le dessin donné, on voit bien que, plus n augmente, plus la courbe est au dessous de la précédente.
Mais je n'arrive pas à le démontrer. J'ai tenté f_n+1 - f_n mais le résultat ne me parle pas :
f_n+1 - f_n = xⁿ(x-1) -x
Au plus je vois que quand x = 1 toutes les courbes arrivent 1 unité au dessous de la précédente ; mais entre-temps, je n'ai aucune preuve...
Pour la question 2 j'aimerais bien prouver que la dérivée est toujours négative dans l'intervalle mais là aussi, je bloque. Ca me servirait aussi dans la question 1 d'ailleurs

Merci d'avoir lu jusque là. Je cherche des pistes...