salut
il faut que lim f(x)=f(0)
            x0

Bonsoir

Une fonction est continue en a si sa limite en a est f(a). En quoi le fait que f(0)=0 engendre-t-il que la limite en 0 est f(0)?


Il suffit de prendre par exemple la fonction
f(0)=0 et pourtant f n'est pas continue.

Bonsoir,

Non.

Exemple soit f définie sur [0,1] tel que

f(0)= 0
f(x)= 1 pour x0

F répond aux critères que tu cites et pourtant elle n'est pas continue en 0

Bonsoir dododel24

non !
contre-exemple : si on définit la fonction f par f(x)=1 si x est non nul et f(0)=0, alors f n'est pas continue en 0.

Kaiser

Bonsoir tout le monde !

salut tout le monde

mais par contre si elle est continue en 0, alors elle est dérivable.... non?

c'est le contraire qui est vrai : si une fonction est dérivable en un point, alors elle est continue en ce point.

Kaiser

Non plus

Contre exemple

f(x)= x si x=>0
f(x)=-x si x<o

f continue en 0 mais pas dérivable en 0

j'ai une fonction fx=(x+1)e^(-1/x) définie si x>0 et f(0)=0
on m'a fait déterminer la limite de (1+u)e^(-u) lorsque u tendait vers l'infini et j'ai trouvé 0
on me dit de déduire que f est dérivable en 0 et de déterminer f'(0)...
comment faire?
merci

Remarque que (f(x)-f(0))/(x-0) = (1+1/x)e^-1/x

Si tu pose u=1/x tu devrais comprendre pourquoi on t'a fais étudier la limite de (1+u)e^-u en

hum donc la dérivée de f serait (1+1/x)e-1/x?
j'ai trouvé pour ma part (1+1/x+1/x²)e-1/x

Non.

Si (1+u)e^-u tend vers 0 quand u tend vers + alors

(1+1/x)e^-1/x tend vers 0 quand x tend vers 0

(car si tu pose u=1/x les deux expressions sont identiques et dire que x tend vers 0 est équivalent à dire que u tend vers l'infini)

Or (1+1/x)e^-1/x n'est autre que (f(x)-f(0))(x-0)  Cf taux d'accroissement de f en 0

donc si cela tend ves 0 (comme tu l'as démontré) cela veut dire que f est dérivable en 0 et que f'(0)=0