Bonjour,
Ca dépend de ce que t'entends par "développable en série de Fourier". Il y a plusieurs notions.

Si la fonction est de classe C1 par morceaux on sait que l'on a une convergence ponctuelle presque partout vers f, (on a meme convergence ponctuelle vers la regularisée de f défnie par (f(x+)+f(x-))/2). Si de plus la fonction est continue alors, f est égale à sa régulsarisée, et on a convergence ponctuelle partout, et meme convergence normale.

Mais la bonne notion (i.e) la notion géométrique de Série de Fourier est dans L², si ta fonction est dans L²(S1) alors elle est somme de sa série de fourier au sens L² (ce que l'on appelle aussi le theorème de convergence en moyenne quadratique).

Pour le 2nd, comme y est dérivable 2 fois, et que y" est au moins continue en tant que g-y, alors y est de classe C², comme onl'a supposé 2\pi périodique, la aussi un théorème de Dirichlet assure que y est développable en série de fourier et la convergence est normale

Merci. Pour le 2nd j'ai bien compris. Pour le premier je comprend les théorèmes que vous évoquez. Ici la somme n'est pas égale partout à f(tous les points Pi modulo 2Pi), est ce que ça suffit pour dire qu'elle n'est pas développable en série de Fourier?

Encore une fois ca dépend de ce que tu entends par développable en Série de Fourier... Pour moi elle est développable en série de Fourier.

Dans mon cours on dit qu'une fonction f est développable en série de Fourier si sa série de Fourier est convergente et a pour somme simple f.

La convergence doit etre ponctuelle et partout? Alors dans ce cas non elle n'est pas développable en série de Fourier, puisqu'elle n'est pas égale à sa régularisée (par enxemple en \pi sa régularisé vaut \pi alors que la fonction elle meme vaut 0)

Ok, c'est clair maintenant. J'aimerrai s'il vous plaît en venir encore au  2nd. J'ai eu à écrire les coefficients de y en fonctions de ceux de g : cn(y) = 1/(-n²)*cn(g).
Ma 1ière question c'est comment aurait on fait pour réglé les cas n=2 si l'équation était écrite avec non pas Pi mais 4(c'est qu'on demande ensuite de reprendre l'étude dans ce cas). Secondo on me demande ensuite dans une autre question de montrer que l'équation admet une unique solution développable en série de Fourier, j'établi l'unicité sans souci à partir de la relation trouvée entre cn(y) et cn(g) mais comment justifier l'existence, c'est là mon souci.
Merci d'avance.

Je viens d'avoir une solution pour l'existence. Je considère une fonction f égale en tout point à la somme de sa série de Fourier, avec des coefficients tels ceux définis en fonction de ceux de g précédemment, et je vérifie qu'une telle fonction est bien solution. C'est ça?