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fibonacci

Posté par
pop-x-korn 01-11-09 à 13:11

Bonjour,

je bloque depuis plusieurs heures sur cet exercice au sujet de fibonacci:

dans l'enoncé j'ai simplement: (de k=0 a n) (k parmi n-k) =n
et 0=1=1

aussi n+2=n+1 +n

et il faut montrer n= 1/5 { ((1+5)/2)n+1 - ((1-5)/2)n+1 }

et une deuxieme question:
trouver un équivalent quand n tend vers den



merci de votre aide

Posté par
robby3re : fibonacci 01-11-09 à 14:03

Salut,
la relation de récurrence que suit la suite de Fibonacci est une relation d'ordre 2:
l'équation caractéristique associée est 5$ r^2-r-1=0 ...
5$ \Delta=1+4=5 d'ou 5$ r_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2} et 5$ r_2=\frac{1+sqrt{5}}{2} \\
donc 5$ \phi_{n}=\lambda.r_1^n+\mu.r_2^n...tu détermines les constantes 5$ \lambda et 5$ \mu à partir de 5$ \phi_0 et 5$ \phi_1...je te laisse poursuivre et mettre ça en oeuvre.

Posté par
pop-x-kornre : fibonacci 01-11-09 à 14:26

merci
en fait cela je l'avait trouvé c'est justment la le probleme, car 0 et 1=1
donc cela me donne
n= r1n + r2n
non?
et je en vois pas du tout comment arriver à du n+1 et le 1/5 en facteur
?

Posté par
robby3re : fibonacci 01-11-09 à 14:40

ça marche bien,
tu as un système 2 X 2 à résoudre...comment détermines tu les deux constantes...

Posté par
pop-x-kornre : fibonacci 01-11-09 à 15:09

+= 1
et
r 1n + r2n=1

donc = 1-
et
(2-)*(r12) + r2n=1

puis j'arrive a:
= (-1+((1+5)/2)n)/(((1+5)/2)n+((1-5)/2)n

et apres j'arrive a =-(-1+5)[sup][/sup]n)/ 2
mais je me demande si c'est juste car je me demande toujours d'ou vient le n+1 le 1/5

Posté par
robby3re : fibonacci 01-11-09 à 15:23

bon:

5$ \lambda=1-\mu on est d'accord.

aprés 5$ \rm (1-\mu)r_1+\mu.r_2=1 \Longleftrightarrow 1-r_1=\mu(\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\))

donc 5$ \fbox{\mu=\frac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.\(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)}

et donc 5$ \fbox{\lambda=\frac{\sqrt{5}}{5}.\(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)}

sauf erreurs.

Posté par
robby3re : fibonacci 01-11-09 à 15:26

et donc 5$ \fbox{\fbox{\phi_n=\frac{\sqrt{5}}{5}.\(\(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)^{n+1}-\(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)^{n+1}\)}}

et 5$ \blue \fbox{\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{1}{\sqrt{5}}}
sauf erreurs.

Posté par
pop-x-kornre : fibonacci 01-11-09 à 15:42

je vous remercie beaucoup, j'étais partie dans des calculs plus complexes, par contre je n'ai pas compris pourquoi n+1 ?  

Posté par
robby3re : fibonacci 01-11-09 à 15:46

parce que 5$ \phi_n=\lambda.r_1^n+\mu.r_2^n et que 5$ \lambda=\frac{1}{\sqrt{5}}.(-r_1) et que 5$ \mu=\frac{1}{\sqrt{5}}.r_2
sauf erreurs.

Posté par
pop-x-kornre : fibonacci 01-11-09 à 15:50

daccord merci!

Posté par
robby3re : fibonacci 01-11-09 à 17:14

pour l'équivalent de 5$ \phi_n à l'infini:

comme 5$ \frac{1-\sqrt{5}}{2}<1 \\
et que 5$ \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)^{n+1}\sim \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)^n

on a

5$ \phi_n\sim \frac{1}{\sqrt{5}}.\(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)^n=\frac{1}{\sqrt{5}}.\Phi^n avec 5$ \Phi=nombre d'or.
sauf erreurs.

Posté par
pop-x-kornre : fibonacci 01-11-09 à 17:36

merci
je venais de trouver cela. donc votre reponse confirme la mienne !

Posté par
robby3re : fibonacci 01-11-09 à 17:36

y'a pas de quoi!
Bonne soirée!


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