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Fomule de Héron (Al-Kashi)
Bonjour !
J'ai un problème pour commencer cet exercice. Pour démontrer les deux formules, il faut partir de la formule à démontrer ou le contraire ?
On désigne par 
l'aire d'un triangle et par p son demi-périmètre: p=(a + b + c)/2.
En utilisant les relations d'Al-Kashi, montrer que:
1 + cos A = [2p(p - a)]/bc et 1- cos A = 2[(p-b)(p-c)]/bc.
1) En déduire la valeur de sin A en fonction de p , a , b et c
2) Démontrer la formule de Héron:
S= 
[p(p-a)(p-b)(p-c)]
3)Application
a) Calculer l'aire d'un triangle équilatéral de côté 6.
b) Calculer l'aire d'un triangle isocèle de sommet A avec AB=6 et BC=8.
Merci de m'aider 
Bonjour.
En utilisant Héron exprime cos(A) = (b²+c²-a²)/(2bc), puis 1+cos(A) (fais apparaître (b+c)²)
et 1-cos(A) (fais apparaître (b-c)²). Avec des différences de deux carrés, tu trouves :
(b-c-a), (b-c+a), (b+c-a), (b+c+a) que tu exprimeras en fonction de p.
Après (1 - cosA)(1 + cosA) = 1 - cos²A = sin²A.
Enfin, prends la hauteur CH et élimine là entre l'aire et le sinus.
J'espère avoir été clair, cordialement RR.
j'ai tenté d'arriver à vos résultats mais pourriez vous m'expliquer vos calculs parce que déjà quand vous dites : exprime 1+cos(A) on prend la formule qu'on doit démontrer (celle de l'énoncé) ou de la formule trouvé avec la relation d'Al-Kashi.
Et j'ai quand même fais le calcul et chez moi c'est 2bc qui apparaît et non (b+c)².
Pourriez vous m'expliquer comment vous faites pour trouver ce résultat ?
Merci d'avance
Bonsoir,
si 2p = (a + b + c)
relation d'Al-Kashi :
a² = b² + c² - 2bc cos A
<=> (a² - b² - c²) / -2bc = cos A
<=> (a² - b² - c² - 2bc) / -2bc = cos A + 1
<=> a² - (b + c)² / -2bc = cos A + 1
<=> (a + b + c) (a - b - c) / -2bc = cos A + 1
<=> 2p (2a - 2p) / -2bc = cos A + 1
<=> 2p (p - a) / bc = cos A + 1
Je te laisse faire (1 - cosA), selon le même principe...
....
oui pour 1 - cos (A) j'ai fini par trouver merci beaucoup.
maintenant je vais essayer de finir l'exercice et si je bloque je vous redemanderai merci encore 
j'ai un peu de mal pour les deux autres uestions de la premières partie (Formule du Héron)
Pour exprimer sin (A) en fonction de p , a , b et c
j'ai commencé quelque chose mais j'en suis pas du tout sûre.
(1+cos (A))(1-cos (A)) = 1-cos²(A)
or sin²(A) + cos²'(A) = 1
sin²(A) = (1 + cos (A))(1 - cos(A))
sin²(A) = [(2p(p-a))/bc][(2(p-b)(p-c)]/bc]
sin²(A) = [(2p(p-a)(2(p-b)(p-c))]/(bc)²
ensuite j'ai pas réussi à trouver
pour les Application j'ai trouvé pour le a. 93 et pour le b 85
Salut,
Jusque là c'est bien. il reste à conclure, et ce n'est pas le plus difficile :
sin²(A) = [(2p(p-a)(2(p-b)(p-c))]/(bc)²
<=> (bc sinA)² = 4 p (p-a)(p-b)(p-c)
or S = 1/2 bc sin A (S = surface d'un triangle)
donc S = ..............
c'est fini.
....
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