Bonjour,

Quand tu étudies une fonction, tu étudies son domaine de définition, la parité, périodicité, variation, etc..
La périodicité aide beaucoup pour l'étude des variations, dérivabilités et autres

Bonsoir.

Commence par regarder la période, cela limitera considérablement tes soucis.

tan est -périodique et elle est impaire la fonction f l'est donc aussi.
Ensuite pour étudier la dérivabilité ?
J'étudie f sur quelle intervalle ?

f est bien Pi périodique mais n'est ni paire ni impaire.

oui en effet je me suis trompé, elle n'est ni paire ni impaire
j'ai été un peu trop vite
pour le domaine de continuité : je le vois à la calculatrice mais je ne sais pas comment le trouver...

je me serais donc tromper dans le domaine de définition qui est plutôt:
+k avec k ??

Df : ]-Pi/4 ; 3Pi/4[ modulo Pi

Ou si tu préfères: R - {3Pi/4 + k.Pi} avec k dans Z

f est Pi périodique
f n'est ni paire ni impaire.

L'étude de la fonction peut se limiter au domaine ]-Pi/4 ; 3Pi/4[ puisque par la périodicité de f, on pourra alors étendre à R - {3Pi/4 + k.Pi} avec k dans Z.

f(x) = 1/(1+tg(x))

f '(x) = -(1/cos²(x))/(1+tg(x))²
f '(x) < 0 sur ]-Pi/4 ; 3Pi/4[ --> f est décroissante.

f(Pi/4 + x) = 1/(1 + tg(Pi/4 + x)) = 1/[1 + (1 + tg(x))/(1-tg(x))]
f(Pi/4 + x) = 1/(1 + tg(Pi/4 + x)) = (1-tg(x))/[1-tg(x) + (1 + tg(x))]
f(Pi/4 + x) = 1/(1 + tg(Pi/4 + x)) = (1-tg(x))/2

f(Pi/4 - x) = 1/(1 + tg(Pi/4 - x)) = 1/[1 + (1 - tg(x))/(1+tg(x))]
f(Pi/4 - x) = 1/(1 + tg(Pi/4 - x)) = (1+tg(x))/[(1+tg(x) + 1 - tg(x)]
f(Pi/4 - x) = 1/(1 + tg(Pi/4 - x)) = (1+tg(x))/2

f(Pi/4 + x) + f(Pi/4 - x) = 1
[f(Pi/4 + x) + f(Pi/4 - x)]/2 = 1/2

Et donc le point de coordonnées (Pi/4 ; 1/2) est centre de symétrie de la courbe représentant f(x).

lim(x-> -Pi/4 +) f(x) = +oo
lim(x-> 3Pi/4 -) f(x) = -oo

Les droites d'équations x = -Pi/4 et x = 3Pi/4 sont asymptotes verticales à la courbe représentant f(x).
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Par la périodicité de f, on peut déduire facilement, par ce qui précède, le comportement de f sur R - {3Pi/4 + k.Pi} avec k dans Z
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Sauf distraction.  

ok merci
euh par contre pour dire que f est dérivable ??
parce que tan est dérivable sur ]-pi/2;pi/2[ donc tan est aussidérivable sur ]-pi/4;pi/2[ mais sur ]pi/2;3pi/4[ comment le justifier ??

et aussi je ne comprends pas comment vous trouvez :

ah si j'ai compris c'est avec la formule tan(a+b)= etc...

comment faites vous pour trouver que le point de coordonnées (pi/4;0,5) est le point de symétrie de la courbe ??
et pourquoi calculez vous f(pi/4+x) et f(pi/4-x) ??

et comment fait on pour trouver les limites par le calcul ??
SVP aidez moi !!

S'il y a un point ou un axe de symétrie de la courbe représentant f(x) sur ]-Pi/4 ; 3Pi/4[, c'est forcément pour l'abscisse qui est au milieu de l'intervalle  ]-Pi/4 ; 3Pi/4[.
Soit pour l'abscisse (-Pi/4 + 3Pi/4)/2 = Pi/4

Il faut donc chercher en conséquence (à l'abscisse Pi/4) s'il existe un centre ou un axe de symétrie.

Théorie:
Si [f(Pi/4 + x) + f(Pi/4 - x)]/2 est une constante K pour tout x de  ]-Pi/4 ; 3Pi/4[, alors le point de coordonnées (Pi/4 ; K) est un centre de symétrie de la courbe représentant f(x).

J'ai démontré que [f(Pi/4 + x) + f(Pi/4 - x)]/2 = 1/2 pour tout x de  ]-Pi/4 ; 3Pi/4[, et donc le point de coordonnées (Pi/4 ; 1/2) est un centre de symétrie de la courbe représentant f(x).
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lim(x-> -Pi/4 +) f(x) = lim(x-> -Pi/4 +) [1/(1+tan(x))] = 1/(1 + (-1+)) = 1/0+ = +oo
lim(x-> 3Pi/4 -) f(x) = lim(x-> 3Pi/4 -) [1/(1+tan(x))] = 1/(1 + (-1-)) = 1/0- = -oo
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Sauf distraction.  

Merci beaucoup
Je comprends mieux maintenant, je ne connaissais pas cette théorie.
Dernière question: comment fait on pour démontrer que f est dérivable sur ]-pi/4;3pi/4[ ???

Un graphique.

Et en enlevant les parties "parasites" du graphe :

euh merci pour le graphique...
Mais quel rapport avec une démonstration mathématique  ???

Ca aide souvent ... mais effectivement, cela ne remplace pas la preuve.

oui
pour le démontrer:
tan est dérivable sur ]-pi/2;pi/2[ donc elle est aussi dérivable sur ]-Pi/4;Pi/2[ mais pour le reste de l'intervalle ???
Est ce que vous pourriez m'aider parce que je n'y arrive pas du tout ...
Merci

Dérivabilité sur ]-Pi/4 ; 3Pi/4[ :

f(x) = 1/(1+tg(x))
f(x + Dx) =  1/(1+tg(x + Dx))

Or tg(x + Dx) = (tg(x) + tg(Dx))/(1 - tg(x).tg(Dx)) -->

f(x + Dx) =  1/(1+((tg(x) + tg(Dx))/(1 - tg(x).tg(Dx))))
f(x + Dx) =  (1 - tg(x).tg(Dx))/(1 - tg(x).tg(Dx) + tg(x) + tg(Dx))

f(x + Dx) - f(x) = (1 - tg(x).tg(Dx))/(1 - tg(x).tg(Dx) + tg(x) + tg(Dx)) - 1/(1+tg(x))

f(x + Dx) - f(x) = [(1 - tg(x).tg(Dx))(1+tg(x)) - (1 - tg(x).tg(Dx) + tg(x) + tg(Dx))]/[(1+tg(x)).(1 - tg(x).tg(Dx) + tg(x) + tg(Dx))]

f(x + Dx) - f(x) = [1+tg(x) - tg(x).tg(Dx) - tg²(x).tg(Dx) - 1 + tg(x).tg(Dx) - tg(x) - tg(Dx)]/(1 - tg(x).tg(Dx) + tg(x) + tg(Dx) + tg(x) - tg²(x).tg(Dx) + tg²(x) + tg(x).tg(Dx))

f(x + Dx) - f(x) = [- tg²(x).tg(Dx) - tg(Dx)]/(1  + 2tg(x) + tg(Dx)  - tg²(x).tg(Dx) + tg²(x))

(f(x + Dx) - f(x))/Dx = (tg(Dx)/Dx).[- tg²(x) - 1]/(1  + 2tg(x) + tg(Dx)  - tg²(x).tg(Dx) + tg²(x))

lim(Dx --> 0) [(f(x + Dx) - f(x))/Dx] = [- tg²(x) - 1]/(1  + 2tg(x) + tg²(x))

lim(Dx --> 0) [(f(x + Dx) - f(x))/Dx] = [- tg²(x)  - 1]/(1  + tg(x))²

lim(Dx --> 0) [(f(x + Dx) - f(x))/Dx] = [- sin²(x)/cos²(x) - cos²(x)/cos²(x)]/(1  + tg(x))²

lim(Dx --> 0) [(f(x + Dx) - f(x))/Dx] = [- sin²(x)/cos²(x)  - cos²(x)/cos²(x)]/(1  + tg(x))²

lim(Dx --> 0) [(f(x + Dx) - f(x))/Dx] = (1/cos²(x)).[- sin²(x)  - cos²(x)]/(1  + tg(x))²

lim(Dx --> 0) [(f(x + Dx) - f(x))/Dx] = -(1/cos²(x))/(1  + tg(x))²


lim(Dx --> 0) [(f(x + Dx) - f(x))/Dx] existe pour toute valeur de x tels que 1 + tg(x) est différent de 0.

--> on a motamment : lim(Dx --> 0) [(f(x + Dx) - f(x))/Dx] existe pour toute valeur de x dans ]-Pi/4 ; 3Pi/4[

Et donc f(x) est dérivable sur ]-Pi/4 ; 3Pi/4[
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Sauf distraction.  

merci à tous
j'ai eu la correction de l'exercice aujourd'hui
en fait Df=-({pi/2+k,k}U{-pi/4+k',k'})
Donc l'étude n'était pas sur le bon domaine ...

Oui, tg(x) n'étant pas définie en Pi/2 + k.Pi, f(x) non plus.

Il aurait fallu dire (et démontrer) que f(x) était prolongeable par f(x) = 0 en x = Pi/2 + k.Pi, pour pouvoir faire l'étude comme cela a été fait dans ce topic.