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fonction arccos(cos)+ arcsin(sin)

Posté par
letonio
10-11-05 à 11:40

Bonjour à tous,
J'essaie de faire l'étude de la fonction f(x)= arccos(cos)+ arcsin(sin), mais visiblement il y a une grosse faille dans mon raisonnement. Je ne vois pas où elle est. J'ai écrit:

f est dérivable sur IR\ kPI/2 avec k appartient à Z

f'(x)= - sinx. arccos'(cosx) + cos x arcsin'(sinx)
= -sinx . 1/cos'x   + cos x. 1/sin'x
Pour moi ça vaudrait donc 2, ce qui est complètement faux au vu de ma courbe.
Au secours!

Posté par
letonio
re : fonction arccos(cos)+ arcsin(sin) 10-11-05 à 11:41

f(x)= arccos(cosx)+ arcsin(sinx)

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : fonction arccos(cos)+ arcsin(sin) 10-11-05 à 12:23

La fonction est périodique de période 2pi.

On se place sur [0;2pi[. On peut trouver une forme explicite de f

[0 pi] : arccos(cos(x)) = x
]pi;2pi[ : arccos(cos(x)) = 2pi-x
[0;pi/2] : arcsin(sin(x)) = x
]pi/2;3pi/2] : arcsin(sin(x)) = pi-x
[3pi/2;2pi[ : arcsin(sin(x)) = x-2pi

En séparant [0;2pi[ en quelques intervalles, on en déduit une expression de f sous forme "affine par morceaux".

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par biondo (invité)re : fonction arccos(cos)+ arcsin(sin) 10-11-05 à 12:24

Hello  

La dérivée de Arccos(y), c'est -1/V(1-y^2), avec V pour "racine"
Et celle de Arcsin, c'est 1/V(1-y^2).

Bizarre, ton 1/cos'....

Je ne fais pas tout, mais il y a une histoire de valeurs absolues qui nous contraint à étudier tout cela sur différents intervalles, en fonction des signes conjoints de sin et cos... Enfin bon.

A+
biondo

Posté par biondo (invité)re : fonction arccos(cos)+ arcsin(sin) 10-11-05 à 12:25

Arf.

D'un chouilla.
Salut Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : fonction arccos(cos)+ arcsin(sin) 10-11-05 à 12:26

Salut, biondo !

Posté par
J-P Correcteur
re : fonction arccos(cos)+ arcsin(sin) 10-11-05 à 12:42

f(x)= arccos(cosx)+ arcsin(sinx)

f est 2Pi périodique.

arcsin(sinx) = -Pi - x ()
arcsin(sinx) = x (sur [-Pi/2 ; Pi/2])
arcsin(sinx) = Pi - x (sur [Pi/2 ; Pi])

arccos(cosx) = |x| (sur [-Pi ; Pi])

Donc

f(x) = -Pi - 2x sur [-Pi ; -Pi/2]
f(x) = 0 sur [-Pi/2 ; Pi/2]
f(x) = 2x sur [0 ; Pi/2]
f(x) = Pi sur [Pi/2 ; Pi]
-----
C'est plus facile de continuer. Non ?

Sauf distraction.



Posté par
J-P Correcteur
re : fonction arccos(cos)+ arcsin(sin) 10-11-05 à 12:43

Trop tard.

Posté par
letonio
re : fonction arccos(cos)+ arcsin(sin) 10-11-05 à 13:01

heu oui qu'est ce que j'ai fait. Je  connais que ça pourtant la dérivée arccos et d'arcsin. :/

Posté par
letonio
re : fonction arccos(cos)+ arcsin(sin) 10-11-05 à 13:10

Bein non c'est pas si débile. C'est juste que je n'ai pas écrit la dérivée jusqu'au bout.
arccos'(cosx)= 1/cos'(x)= -1/ sinx= -1/ V(1- cos^2 x)

Donc mon 1/cos'(x) et mon 1/sin'(x) n'étaient pas absurdes il me semble.

Par contre je comprends bien les nuances qu'il faut faire selon la valeur de x. Merci à vous, c'est clair, maintenant.

Posté par
J-P Correcteur
re : fonction arccos(cos)+ arcsin(sin) 10-11-05 à 13:16

Si on prend la peine de redéfinir f(x) par:

f(x) = -Pi - 2x sur [-Pi ; -Pi/2]
f(x) = 0 sur [-Pi/2 ; Pi/2]
f(x) = 2x sur [0 ; Pi/2]
f(x) = Pi sur [Pi/2 ; Pi]
et f(x) est 2 Pi périodique

On n'a plus besoin alors des dérivées des arcos et arcsin, tout est alors immédiat...




Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : fonction arccos(cos)+ arcsin(sin) 10-11-05 à 13:19

Dans la ligne de biondo, je trouve :

[arccos(cos(x))]' = (signe de sin(x))*1
[arcsin(sin(x))]' = (signe de cos(x))*1

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : fonction arccos(cos)+ arcsin(sin) 10-11-05 à 13:22

letonio, je ne comprends pas ton :
arccos'(cosx)= 1/cos'(x)

Posté par
letonio
re : fonction arccos(cos)+ arcsin(sin) 10-11-05 à 13:39


J'ai dit que lorsque x appartient à [0,pi]
si je note y= cosx

arccos (y) = 1/ cos'(x)= -1/ sinx =....

Je ne comprends pas ce qui cloche, à part que j'avais oublié (et même méchamment oublié) de m'intéresser aux intervalles que vous m'avez indiqués. Je suis repassé par la formule de dérivation des fonctions réciproques.  

Posté par
letonio
re : fonction arccos(cos)+ arcsin(sin) 10-11-05 à 13:48

J'ai beaucoup de mal à retrouver les valeurs d'arccos(cosx) et d'arcsin(sinx) en fonction de x.

Avec quoi je peux le "voir"? J'ai essayé avec un cercle de trigo ou avec un repère. Tout ce que j'arrive à voir, c'est que les sens de variation ne sont pas forcément les mêmes.

Posté par
letonio
re : fonction arccos(cos)+ arcsin(sin) 10-11-05 à 13:59


Sur [pi, 2pi], arccos (cosx) décroît.   arccos(cos pi)= pi
arccos(cos 2pi)= 0
d'où le   arccos(cosx)= 2pi -x
En gros j'arrive à peu près à le retrouver au feeling. Mais ça n'est pas très rigoureux comme "démonstration". :/

Posté par
J-P Correcteur
re : fonction arccos(cos)+ arcsin(sin) 10-11-05 à 14:15

g(x) = arccos(cos(x))
g(-x) = arccos(cos(-x))
g(-x) = arccos(cos(x))
g(-x) = g(x)

g est donc paire.
g est aussi 2 Pi périodique.

dans [0 ; Pi], on a arccos(cos(x)) = x
comme g est paire --> dans [-Pi;0], on a arccos(cos(x)) = -x

On connait donc g(x) = arccos(cos(x)) sur [-Pi ; Pi] et comme g(x) est 2 Pi périodique, tout est dit.
-----
h(x) = arcsin(sin(x))
h(-x) = arcsin(sin(-x))
h(-x) = arcsin(-sin(x))
h(-x) = -arcsin(sin(x))
h(-x) = -h(x)

h est donc impaire.
h est aussi 2 Pi périodique.

Il suffit donc détudier h(x) sur [0;Pi]
h(x) = x sur [0;Pi/2]
h(x) = Pi - x sur [Pi/2 : Pi]

Avec la parité de h, on a donc:

arcsin(sinx) = -Pi - x sur[-Pi ; -Pi/2]
arcsin(sinx) = x sur [-Pi/2 ; Pi/2])
arcsin(sinx) = Pi - x sur [Pi/2 ; Pi]

On connait donc h(x) = arcsin(sin(x)) sur [-Pi ; Pi] et comme h(x) est 2 Pi périodique, tout est dit.
-----
OK ?

Sauf distraction.

Posté par
letonio
re : fonction arccos(cos)+ arcsin(sin) 10-11-05 à 14:20

Super merci à toi (à vous tous). Tout est clair

Posté par
letonio
re : fonction arccos(cos)+ arcsin(sin) 11-11-05 à 13:40

Je croyais que c'était clair, mais en reprenant le raisonnement dans le détail, je me plante. J'essaie de rédiger, histoire que vous m'indiquiez ce qui cloche.

Soit g(x)= arccos(cosx)
g est paire et 2pi périodique.

sur [0,pi/2]  g(x)=x

arccos(cos (-x))= arccos(cos(x)) donc
sur [-pi/2,0]  arccos(cosx) = -x

sur [pi/2,pi]   g(x)= x

sur [-pi,-pi/2]  g(x)= -x

Je sais que je donne des intervalles en trop, mais c'est pour essayer d'y voir plus clair.
________________________________________________________

Soit h(x)= arcsin(sinx)
h est impaire et 2pi périodique.

sur [-pi/2,pi/2]  h(x)= x


arcsin(sinx)= arcsin(-sin(-x) )= arcsin( sin(-x+pi)) donc
sur [pi/2,pi]  h(x)= -x +pi

sur [-pi,-pi/2]   on a h(-x)= -h(x) donc
arcsin(sinx)= - (-x+pi)= x -pi  
C'est sans doute là qu'est mon erreur... Mais je ne retrouve pas le résultat de J-P
_________________________________________________________________

Donc
sur [0,pi/2]   arccos(cosx)+ arcsin(sinx)= x+x= 2x
sur [pi/2, Pi]   f(x)= x- x +pi = pi    ça aussi ça ne fonctionne pas
sur [-pi,-pi/2]  f(x)= -x +x -pi= -pi    ce qui ne fonctionne pas non plus
sur [-pi/2, 0]   f(x)= -x +x =0          et zut

Est-ce que quelqu'un pourrait m'indiquer ce qui cloche ?


Posté par
letonio
re : fonction arccos(cos)+ arcsin(sin) 11-11-05 à 18:16

??

Posté par
letonio
re : fonction arccos(cos)+ arcsin(sin) 12-11-05 à 09:41

??

Posté par
letonio
re : fonction arccos(cos)+ arcsin(sin) 12-11-05 à 09:46

Mon message a été effacé...
J'ai repris dans le détail le raisonnement, et je bloque sur une partie. Je n'arrive pas à retrouver
arcsin(sinx) = -Pi - x sur[-Pi ; -Pi/2]
Du coup tous mes résultats sont faux. Pourriez-vous me détailler le raisonnement qui amène à ça?

Voilà ce que j'ai fait:
arcsin(sinx)= arcsin(-sin(-x))= arcsin(sin(-x+Pi))
Donc sur [Pi/2 ; Pi]  arcsin(sinx)= arcsin(sin(-x+pi)) = pi-x

Et sur sur[-Pi ; -Pi/2], comme h est impaire,
arcsin(sinx)= -(pi-x)= x -pi

Posté par
letonio
re : fonction arccos(cos)+ arcsin(sin) 12-11-05 à 13:35

??

Posté par
letonio
re : fonction arccos(cos)+ arcsin(sin) 12-11-05 à 16:33

??

Posté par
J-P Correcteur
re : fonction arccos(cos)+ arcsin(sin) 12-11-05 à 17:10

C'est ton raisonnement pour calculer f(-x) qui est faux.

Pour une fonction impaire, on a bien f(x) = -f(-x)

Mais dans ton raisonnement tu tiens compte du - qui est devant le f, mais tu oublies le moins qui est entre les parenthèses.

A la fin de ton raisonnement, IL FAUT encore changer le signe de x.

donc au lieu de trouver x-Pi, tu trouveras -x - pi
-----
Sauf distraction.

Posté par
letonio
re : fonction arccos(cos)+ arcsin(sin) 12-11-05 à 20:11

Ok j'ai repris tout ça. Je suppose que l'idée est qu'arcsin doit renvoyer une valeur comprise entre -pi/2 et pi/2.
donc
pour x sur [-pi,pi/2]
arcsin(sinx)= arcsin(-sin(-x))= arcsin(sin(-x-pi))= -x -pi
Je n'arrive pas trop à le retrouver en passant par les propriétés des fonctions impaires. Je m'emmêle les pinceaux :/

En tout cas après ça fonctionne. Si quelqu'un peut me donner une méthode plus subtile que ce que j'ai écrit (arcsin(sinx)= arcsin(-sin(-x))= arcsin(sin(-x-pi))= -x -pi), ça m'interesse.

Merci à tous

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