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fonction avec valeur absolue

Posté par
Mchat 08-02-09 à 14:11

Bonjour,
je n'ai jamais trop compris le principe des valeurs absolues,
je sais bien que |x| quand x>0 est égal à x et que |x| quand x <0 est égal à -x mais j'ai du mal à en comprendre l'application à certaines fonctions.

j'ai un exercice où il s'agit détudier la fonction

h(x)= ln |x+1/x-1| - (x/(x²+1)) sur l'intervalle R+\{1}

il faut déterminer les limites de f en 1 et +infini ainsi que en calculer la dérivée, etc

Pour la limite en 1, je trouve une forme indéterminée...


merci d'avance de votre aide

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fonction avec valeur absolue 08-02-09 à 14:16

Bonjour,

La limite en 1 ne me semble pas une forme indéterminée : poste tes calculs.

Sur ]-oo;-1], [-1;1[, ]1;+oo[, examine le signe de (x+1)/(x-1).
Déduis-en, sur chaque intervalle, une expression de h sans les barres de valeur absolue.

Posté par
Mchatre : fonction avec valeur absolue 08-02-09 à 14:20

Oops je viens de me rendre compte que j'ai fait une erreur en recopiant la fonction c'est  
h(x)=  ln |x+1/x-1| - (x/(x²-1))

donc en fait je trouve + infini pour la limite de ln |x+1/x-1| ainsi que pour celle de x/(x²-1) donc + infini - -infini.

Je suis désolée : $

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fonction avec valeur absolue 08-02-09 à 14:23

OK.

Sur ]-oo;-1], [-1;1[, ]1;+oo[, examine le signe de (x+1)/(x-1).
Déduis-en, sur chaque intervalle, une expression de h sans les barres de valeur absolue.

Posté par
Mchatre : fonction avec valeur absolue 08-02-09 à 14:28

mais en fait, comme je dois juste étudier ma fonction sur R+/{1}, est ce que je suis quand même obligée de déduire une expression de h sur tous les intervalles ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fonction avec valeur absolue 08-02-09 à 14:29

Oui.

Posté par
Mchatre : fonction avec valeur absolue 08-02-09 à 14:38

Alors je trouve (x+1)/(x-1) positif sur    ]-oo;-1], négatif sur [-1;1[ et positif sur ]1;+oo[

donc quand ça voudrait dire que

h(x) = ln (x+1/x-1) - (x/(x²-1)) sur ]-oo;-1] et ]1;+oo[

et h(x) = -ln (x+1/x-1) - (x/(x²-1)) sur [-1;1[

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fonction avec valeur absolue 08-02-09 à 14:39

Ce qui suit le "ça voudrait dire" est faux. Relis la définition de la valeur absolue.

Posté par
Mchatre : fonction avec valeur absolue 08-02-09 à 14:45

Sur [-1;1[ il faut mettre le - dans la parenthèse ?

h(x)= ln(-x-1/x-1) - (x/(x²-1))

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fonction avec valeur absolue 08-02-09 à 14:47

OK.

En utilisant les formules sans ||, tu peux maintenant chercher la limite en 1- et en 1+

Posté par
Mchatre : fonction avec valeur absolue 08-02-09 à 14:57

Je trouve +oo en 1- mais une forme indéterminée en 1+

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fonction avec valeur absolue 08-02-09 à 15:00

J'ai dit une bêtise plus haut.
Je n'avais pas remarqué le R+.
Les seuls intervalles à considérer sont [0;1[ et ]1;+oo[

Je reviens...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fonction avec valeur absolue 08-02-09 à 15:03

Sur [0;1[ :
3$h(x)=\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right| - \frac{x}{x^2-1}
3$h(x)=\ln\frac{x+1}{1-x} - \frac{x}{x^2-1}

Lorsque x tend vers 1-, la fraction dans le logarithme tend vers +oo, donc le premier terme tend vers +oo

x²-1 tend vers 0-, donc le second terme ("-" non compris) tend vers -oo

Donc le tout tend vers +oo en 1-

Posté par
Mchatre : fonction avec valeur absolue 08-02-09 à 15:07

Y'a  pas d'mal !
Oui c'est ce que j'avais fait pour 1-
Il y a juste en 1+ ou je trouve +oo - +oo

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fonction avec valeur absolue 08-02-09 à 15:07

Sur ]1;+oo[
3$h(x)=\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right| - \frac{x}{x^2-1}
3$h(x)=\ln\frac{x+1}{x-1} - \frac{x}{x^2-1}

Lorsque x tend vers 1+, la fraction dans le logarithme tend vers +oo, donc le premier terme tend vers +oo

x²-1 tend vers 0+, donc le second terme ("-" non compris) tend vers +oo

Forme indéterminée.

(à suivre...)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fonction avec valeur absolue 08-02-09 à 15:09

As-tu vu que \lim_{X\to 0^+}X\ln X = 0 ?

Posté par
Mchatre : fonction avec valeur absolue 08-02-09 à 15:12

Oui, j'y ai pensé mais je n'arrive pas à transformer la fonction

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fonction avec valeur absolue 08-02-09 à 15:19

Sur ]1;+oo[
3$h(x)=\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right| - \frac{x}{x^2-1}
3$h(x)=\ln\frac{x+1}{x-1} - \frac{x}{x^2-1}
3$h(x)=\ln(x+1) - \ln(x-1) - \frac{x}{(x+1)(x-1)}
3$h(x)=\ln(x+1) - \frac{1}{x-1}\left( (x-1)\ln(x-1) + \frac{x}{x+1} \right)
La grande parenthèse tend vers 1/2. Ce n'est plus une forme indéterminée.

Posté par
Mchatre : fonction avec valeur absolue 08-02-09 à 15:30

Vraiment, merci beaucoup !

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fonction avec valeur absolue 08-02-09 à 15:31

Je t'en prie.


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