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Niveau Licence Maths 1e ann
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Fonction Beta

Posté par
H_aldnoer 08-12-08 à 11:21

Bonjour,

voila j'aimerai savoir si la fonction suivante est dérivable : \Large B_n(x)=\Bigint_0^1 y^{x-1}(1-y)^ndy


On reconnait un peu la fonction bêta! En fait on a \Large B(x,y)=\Bigint_0^1 y^{x-1}(1-y)^{y-1}dy. Je ne sais pas s'il existe une relation du type "formule des compléments". Toute aide est la bienvenue

Posté par
JJare : Fonction Beta 08-12-08 à 12:34

Bonjour,

il y a une confusion entre la variable d'intégration et le paramètre (y) dans l'intégrale que tu as écrite pour définir la fonction Beta(x,y).
A condition de l'écrire correctement, on voit immédiatement comment répondre à la question :

Fonction Beta

Posté par
H_aldnoerre : Fonction Beta 08-12-08 à 14:43

Bonjour JJa,

en fait je préfère travailler avec la fonction \Large B_n(x) qui elle est je pense bien définie!
Selon ton écriture, on a \Large B_n(x)=B(x,n+1), donc ok, je vois à peu près les formules que tu utilises suivant la fonction gamma.


Autre question, \Large B_n vu comme fonction du paramètre x est-elle dérivable ?

Posté par
H_aldnoerre : Fonction Beta 08-12-08 à 14:49

J'arrive à l'expression \Large B_n(x)=\frac{\Gamma(x)}{\Gamma(x+n+1)}\Gamma(n+1)=\frac{\Gamma(x)}{\Gamma(x+n+1)}n!


Mais je ne vois pas ce que réprésente \Large \frac{\Gamma(x)}{\Gamma(x+n+1)} !

Posté par
H_aldnoerre : Fonction Beta 08-12-08 à 14:56

Autre question qui me vient à l'esprit : est-il possible de calculer la limite suivante \Large \lim_{n\to +\infty} B_n(x) ?

Posté par
Nightmarere : Fonction Beta 08-12-08 à 15:42

Salut

3$\rm \Gamma(x+n+1)=(x+n)\Gamma(x+(n-1)+1)=(x+n)(x+n-1)\Gamma(x+(n-2)+1)=...=x(x+1)...(x+n)\Gamma(x)

Donc 3$\rm \frac{\Gamma(x)}{\Gamma(x+n+1)}=\frac{1}{x(x+1)...(x+n)}

Pour la limite :
3$\rm x(x+1)...(x+n)\sim_{n\infty} \frac{n^{x}n!}{\Gamma(x)}

Donc 3$\rm B_{n}(x)\sim_{n\infty} \frac{n^{x}}{\Gamma(x)}

Conclus selon les valeurs de x.

Posté par
Nightmarere : Fonction Beta 08-12-08 à 15:55

Remarque pour la limite on aurait pu la trouvé en passant par la définition de l'intégrale à coup de convergence dominée.

Posté par
JJare : Fonction Beta 08-12-08 à 16:52

Bn(x) étant une fraction polynômiale, elle est dérivable au même titre que toute fraction polynômiale (sauf aux points singuliers bien entendu) et sa dérivée est une fraction polynômiale :

Fonction Beta

Posté par
JJare : Fonction Beta 08-12-08 à 16:57

note : la dérivée écrite avec les fonctions usuelles (fraction polynômiale) s'obtient immédiatement par dérivation logarithmique.

Posté par
H_aldnoerre : Fonction Beta 08-12-08 à 21:19

Citation :
Remarque pour la limite on aurait pu la trouvé en passant par la définition de l'intégrale à coup de convergence dominée.


Comment ?

Citation :
elle est dérivable au même titre que toute fraction polynômiale


Alors par contre, cela m'intéresse beaucoup plus. Surtout, les hypothèses à vérifier sur la dérivation sous le signe intégral.

J'écris \Large B_n(x)=\Bigint_0^1 y^{x-1}(1-y)^ndy=\Bigint_0^1 y^{x-1}(1-y)^ndy=f(x,y)dy avec \Large f(x,y):=y^{x-1}(1-y)^n.
Je souhaite montrer que \Large B_n est dérivable une fois.

Alors la fonction \Large x\in ]0,+\infty[ \to y^{x-1}(1-y)^n est dérivable de dérivée la fonction \Large x\in ]0,+\infty[ \to ln(y)y^{x-1}(1-y)^n.

Puis, le plus délicat, majorer cette dérivée par une fonction intégrable. Je me place sur \Large ]a,b[ où \Large a,b\in \mathbb{R}, \Large 0<a<b<+\infty.

On a \Large |ln(y)y^{x-1}(1-y)^n|\le |ln(y)|max(y^{a-1},y^{b-1}). La fonction \Large g(y)=|ln(y)|max(y^{a-1},y^{b-1}) convient-elle ?

Posté par
JJare : Fonction Beta 09-12-08 à 07:39

Il n'y a pas de dérivation sous le signe intégral puisqu'il n'y a pas d'intégrale : Bn(x) est une fraction polynômiale, tout simplement.

Posté par
H_aldnoerre : Fonction Beta 09-12-08 à 09:59

Ok, admettons que dans le cadre d'un exercice on me demande de dériver sous le signe intégrale la fonction \Large B_n, ce que j'ai fais est-il correct ?

Posté par
H_aldnoerre : Fonction Beta 09-12-08 à 11:16

Nightmare, si tu repasses, peux-tu préciser :

Citation :
Remarque pour la limite on aurait pu la trouvé en passant par la définition de l'intégrale à coup de convergence dominée.


Merci!

Posté par
Nightmarere : Fonction Beta 10-12-08 à 00:15

Salut

La suite de fonction 3$\rm f_{n} : y\to y^{x-1}(1-y)^{n} converge simplement vers l'application 3$\rm f : y\to \{{1 si y=1\\0 si 0\le y <1 et elle est dominée par 3$\rm y^{x-1} qui est intégrable sur [0,1] puisque continue. (évidement, pourvu que x soit strictement supérieur à 1)

On en déduit la convergence de Bn vers l'intégrale de l'application f sur [0,1] qui vaut bien sûr 0.

Posté par
H_aldnoerre : Fonction Beta 10-12-08 à 00:23

Salut Nightmare!

Donc tu montres que \Large\lim_{n\to +infty} B_n(x)=0 et j'ai bien saisi.

Comment montres-tu que \Large B_n(x)\sim_{+\infty}\frac{n^xn!}{\Gamma(x)} ?

Posté par
Nightmarere : Fonction Beta 10-12-08 à 00:24

Ce n'est pas Bn(x) qui est équivalent à ça mais x(x+1)...(x+n). C'est un résultat connu mais me semble-t-il loin d'être trivial !

Posté par
H_aldnoerre : Fonction Beta 10-12-08 à 00:25

Euh pardon, \Large B_n(x)\sim_{+\infty}\frac{n^x}{\Gamma(x)} !

Posté par
H_aldnoerre : Fonction Beta 10-12-08 à 00:25

On peut le montrer avec la convergence dominée ?

Posté par
Nightmarere : Fonction Beta 10-12-08 à 00:32

Je crois que ça va être difficile ...

Posté par
H_aldnoerre : Fonction Beta 10-12-08 à 00:40

En fait, j'ai fait ceci :
\Large n^x B_n(x)=n^x\Bigint_0^1y^{x-1}(1-y)^ndy=\Bigint_0^1(ny)^{x-1}(1-y)^nndy

Puis je vais le changement de variable \Large u=ny :
\Large n^x B_n(x)=\Bigint_0^nu^{x-1}(1-\frac{u}{n})^ndu=\Bigint_{]0,+\infty[}u^{x-1}(1-\frac{u}{n})^n\mathbb{1}_{[0,n]}(u)du

J'applique la cv. dominée à la suite \Large f_n(u):=u^{x-1}(1-\frac{u}{n})^n\mathbb{1}_{[0,n]}(u) qui converge simplement vert la fonction \Large f(u):=u^{x-1}e^{-u}.

Donc j'arrive à \Large \lim_{n\to +\infty} n^x B_n(x)=\Gamma(x).

Posté par
Nightmarere : Fonction Beta 10-12-08 à 00:45

Ah tu parlais de Bn(x), je croyais qu'on était encore sur x(x+1)...(x+n). Oui dans ce cas ça marche

Posté par
H_aldnoerre : Fonction Beta 10-12-08 à 00:47

Ok!
Par contre, c'est pas plutôt \Large B_n(x)\sim_{+\infty}\frac{\Gamma(x)}{n^x} ?

Posté par
H_aldnoerre : Fonction Beta 10-12-08 à 01:24

Peux-tu regarder aussi ma justification sur le théorème de dérivation sous le signe intégral. En particulier, je ne suis pas sur que la fonction \Large g(y)=|ln(y)|max(y^{a-1},y^{b-1}) soit intégrable !

Posté par
Nightmarere : Fonction Beta 10-12-08 à 01:29

Re !

Oui pour Bn(x) j'avais oublié d'inverser.

Ensuite ta fonction g est bien intégrale puisque prolongeable par continuité en 0.

Posté par
H_aldnoerre : Fonction Beta 10-12-08 à 10:26

Donc pour la fonction \Large g(y)=|ln(y)|max(y^{a-1},y^{b-1}), il y a un problème en 0. En 1, il n'y a pas de problème car continue, c'est bien ça ?

Mon prof dit qu'en 0, on a toujours \Large |ln(y)|=o(y^{\epsilon}) mais je ne vois pas comment conclure avec ceci!

Posté par
H_aldnoerre : Fonction Beta 10-12-08 à 10:26

Bien sûr, \Large \epsilon >0 !

Posté par
H_aldnoerre : Fonction Beta 10-12-08 à 10:27

Et c'est plutôt \Large |ln(y)|=o(y^{-\epsilon}) !!

Posté par
H_aldnoerre : Fonction Beta 10-12-08 à 13:17

Je n'arrive pas à être convaincu que ma majoration convient!


On veut l'intégrabilité sur \Large ]0,+\infty[. Donc, soit je regarde sur \Large ]a,b[ avec \Large 0<a<b<+\infty, soit je regarde sur \Large ]a,+\infty[ avec \Large 0<a<+\infty. Je pense que cela revient au même!


Bref, je choisis la seconde option : je trouve que \Large |ln(y)y^{x-1}(1-y)^n|\le |ln(y)|y^{a-1}. Notant \Large g(y):=|ln(y)|y^{a-1} je cherche à montrer que \Large g est intégrable.


J'ai deux résultats :
- \Large \forall X\in ]0,1]\,, \forall \epsilon > 0\,, |ln(X)|X^{\epsilon}\le C où \Large C est une constante strictement positive.

- \Large \forall \epsilon >0\,, |ln(t)|=o(t^{-\epsilon})

Je vois pas comment conclure!

Posté par
Nightmarere : Fonction Beta 10-12-08 à 13:34

Je ne comprends pas, pourquoi tu cherches l'intégrabilité sur ]0,+oo[? On est sur [0,1] ici ! Sur cet intervalle, ton majorant est continue (du moins, se prolonge par continuité en 0)

Posté par
H_aldnoerre : Fonction Beta 10-12-08 à 20:02

Non! Le paramètre x est bien dans \Large ]0,+\infty[!

Je veux montrer que \Large B_n est dérivable comme fonction de \Large x !

Posté par
Nightmarere : Fonction Beta 10-12-08 à 20:12

Ben Oui, c'est bien ce que je dis ! Il faut donc que tu montres que la dérivée par rapport à x de ton intégrande est intégrable par rapport à y sur [0,1] donc.

Posté par
H_aldnoerre : Fonction Beta 10-12-08 à 21:30

Oui, c'est bien ça!

Donc est-ce que la fonction \Large g(y):=|ln(y)|y^{a-1} est intégrable sur \Large ]0,1[ lorsque \Large 0<a<+\infty ?

Posté par
Nightmarere : Fonction Beta 10-12-08 à 21:33

En fait non, pas pour a dans ]0,1].

Posté par
H_aldnoerre : Fonction Beta 10-12-08 à 21:38

Comment je fais dans ce cas ? Et même dans l'autre, je ne vois pas trop!
Je préfère utiliser les majorations et équivalents plutôt que le prolongement par continuité.

Donc si je comprend bien, il faut distinguer selon que \Large a\in ]0,1[ ou \Large a\in [1,+\infty[ ?

Posté par
Nightmarere : Fonction Beta 10-12-08 à 21:39

Oui, sur [1,+oo[ ça marche sans problème. Il faut trouver une autre majoration sur ]0,1[

Posté par
H_aldnoerre : Fonction Beta 10-12-08 à 21:44

Si \Large a\in [1,+\infty[ pourquoi la fonction \Large g(y):=|ln(y)|y^{a-1} est-elle intégrable sur \Large ]0,1[ ?

Pas de problème sur tout compact de \Large ]0,1[ par continuité, en 1 par de problème non plus aussi par continuité, mais en 0 ? C'est ici que j'aimerais précisément utiliser des équivalents du type \Large |ln(y)|=o(y^{-\epsilon}) pour tout \Large \epsilon >0 !

Posté par
Nightmarere : Fonction Beta 10-12-08 à 21:45

Pour [1,+oo[, je te l'ai dit c'est un prolongement par continuité, en 0 la limite est 0 (croissance comparée).

Posté par
H_aldnoerre : Fonction Beta 10-12-08 à 22:15

Et si je voulais éviter le prolongement par continuité ?

On sait que \Large |ln(y)|y^{a-1} tend vers 0 lorsque y tend vers 0 car dans ce cas \Large a-1\ge 0.

Donc il existe une constante strictement positive tel que \Large |ln(y)|y^{a-1}\le C et donc \Large \Bigint_{]0,1[} |g(y)| dy \le C < +\infty, en utilisant la monotonie de l'intégrale.

Qu'en penses-tu ?

Posté par
Nightmarere : Fonction Beta 10-12-08 à 22:18

Oui ça marche aussi, on revient vraiment à la définition de l'intégrale comme ça.

Posté par
H_aldnoerre : Fonction Beta 10-12-08 à 23:11

Ok!
Est pour \Large a\in ]0,1[, as-tu quelque chose ?

Je ne vois pas!

Posté par
H_aldnoerre : Fonction Beta 11-12-08 à 00:03

Ah!

\Large |ln(y)|y^{a-1}\le |y|y^{a-1}=y^a devrait faire l'affaire!

Non ?

Posté par
Nightmarere : Fonction Beta 11-12-08 à 00:05

Effectivement ça marche

Posté par
H_aldnoerre : Fonction Beta 11-12-08 à 00:07

Je me trompe si je dis qu'on a même plus besoin de discuter suivant que a soit dans ]0,1[ ou [1,+\infty[ ?

Posté par
Nightmarere : Fonction Beta 11-12-08 à 00:07

Non en effet du coup ça règle tout, c'est quand même plus simple :d

Posté par
H_aldnoerre : Fonction Beta 11-12-08 à 00:22

Merci!


Par contre, autre question, je suppose que \Large B_n est continue ! Ce coup-ci, il faut majorer \Large |y^{x-1}(1-y)^n| par une fonction intégrable positive.
Alors je trouve \Large |y^{x-1}(1-y)^n|\le y^{x-1} et \Large y\in ]0,1[ \to y^{x-1} est bien intégrable sur \Large ]0,1[ relativement à la mesure de Lebesgue compte tenu de ce que \Large x-1>-1 (critère de Riemann).

Qu'en dis-tu ?

Posté par
Nightmarere : Fonction Beta 11-12-08 à 00:24

Tu viens de démontrer que Bn était dérivable non? La continuité en découle un peu

Posté par
H_aldnoerre : Fonction Beta 11-12-08 à 00:28

Oui, non c'est vrai!
Mais c'est pour m'entrainer à appliquer mes théorèmes

Posté par
H_aldnoerre : Fonction Beta 11-12-08 à 00:54

J'ai un peu plus de mal pour le changement de variable !

Il paraît que \Large B_n(x)\Gamma(x+n+1)=\Gamma(x)\Gamma(n+1)

Posté par
Nightmarere : Fonction Beta 11-12-08 à 00:59

Essaye avec Fubini

Posté par
H_aldnoerre : Fonction Beta 11-12-08 à 01:23

J'ai essayé, c'est l'embrouille!


Via Fubini-Tonnelli, \Large \Gamma(x)\Gamma(n+1)=\Bigint\Bigint_{]0,+\infty[^2}u^{x-1}v^{n}exp(-(u+v))dudv.

Après,

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