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fonction bijective

Posté par
ferenc 25-12-11 à 18:42

bonjour,
je n'arrive pas à prouver que la fonction f:\R\to \R^*,x\mapsto x+\sqrt{x^2+1} n'est pas bijective. (mais elle l'est bien sur \R^*_+)

Je résous donc f(x)=y et j'arrive à x=\frac{y^2-1}{2y}
Ainsi, pour moi, x existe et est unique \forall y\in\R^*
merci

Posté par
sabagare : fonction bijective 25-12-11 à 19:01

la fonction considérer est bijective sur \[\left] {0; + \infty } \right[\]

Posté par
sabagare : fonction bijective 25-12-11 à 19:05

\[\begin{array}{c} \\ y = x + \sqrt {{x^2} + 1}  \Rightarrow y - x = \sqrt {{x^2} + 1} \\ \\ \Rightarrow {\left( {y - x} \right)^2} = {x^2} + 1\\ \\ \Rightarrow {y^2} - 2xy + {x^2} = {x^2} + 1\\ \\ \Rightarrow {y^2} - 2xy - 1 = 0\\ \\ \Rightarrow x = \frac{{{y^2} - 1}}{{2y}};\\ \\ y =  - 2 \Rightarrow x =  - \frac{3}{4}\\ \\ x =  - \frac{3}{4} \Rightarrow y =  - \frac{3}{4} + \frac{5}{2} = \frac{7}{4} \\ \end{array}\]

Posté par
sabagare : fonction bijective 25-12-11 à 19:06

\[\left\{ \begin{array}{c} \\ y =  - 2 \Rightarrow x =  - \frac{3}{4}\\ \\ x =  - \frac{3}{4} \Rightarrow y =  - \frac{3}{4} + \frac{5}{2} = \frac{7}{4} \\ \end{array} \right.;\left( {-2\ne\frac{7}{4}}\right)\]

Posté par
atilapre : fonction bijective 25-12-11 à 22:14

bonjour sabaga tu as montré la fonction n'été pas bijective sur \R\backslash\{0,-2\}, mais cela ne démontre pas qu'elle l'est sur \R^+_*

Posté par
sabagare : fonction bijective 25-12-11 à 22:50

bonjour atilap

regarder bien on à \[\forall x \in \mathbb{R}:f(x) = x + \sqrt {{x^2} + 1}  > 0\] graphe du fonction f(couleur noir)
c'est-à-dire \[y > 0\]
graphe du fonction g;   \[g\left( y \right) = \frac{{{y^2} - 1}}{{2y}}\]  (couleur rouge)
fonction bijective

* Tom_Pascal > image externe BMP d'un mégaoctet (sympa !!!) récupérée, convertie en gif, puis placée sur le serveur de l', merci d'en faire autant la prochaine fois ferenc ! *

Posté par
jonwamre : fonction bijective 25-12-11 à 23:17

salut,

il suffit de dire que ta fonction est positive (et que comme elle arrive dans R* et pas dans R+* dans ton ennoncé elle n'est pas bijective)

Posté par
ferencre : fonction bijective 26-12-11 à 01:11

ok, j'ai compris, en effet sur le graphe c'est évident !!
Mais lors d'un devoir, j'ai pas le droit à la calculatrice alors comment avoir l'intuition, car dans mes calculs, je ne vois aucune erreur !!
merci,

Posté par
alainpaulre : fonction bijective 26-12-11 à 10:26

Bonjour,


Bien repérer ces fonctions!!

f(x) vérifie
(f(x)+1/f(x))/2=x ,

ou f(x) est l'inverse de  \frac{x+1/x}{2}



Alain

Posté par
ferencre : fonction bijective 26-12-11 à 10:36

pouvez vous développer ? Je suis désolé d'insister mais:
x+\sqrt{x^2+1}=y\Leftrightarrow \sqrt{x^2+1}=y-x \Leftrightarrow x^2 +1 =(y-x)^2\Leftrightarrow x=\frac{y^2-1}{2y}
ainsi, d'après mes calculs on a que x existe pour tout y\neq 0, donc f est surjective sur \R^* et donc bijective sur \R^*. Mais pourtant elle n'est pas bijective sur \R^* donc j'ai forcément fait une erreur, mais je ne vois pas où !!
merci

Posté par
alainpaulre : fonction bijective 26-12-11 à 11:29

Oui,

Tu peux montrer que :
y=x+\sqrt{x^2+1} =>  1/y = x-\sqrt{x^2+1}

d'où ...



Alain

Posté par
ferencre : fonction bijective 26-12-11 à 11:32

en effet, mais ça ne m'explique pas pourquoi mon calcul est faux ^^

Posté par
jonwamre : fonction bijective 27-12-11 à 13:30

bonjour,

je dirais que ta deuxième équivalence est fausse (de droite à gauche il faudrait une valeur absolue) mais je sais pas si c'est ce que tu voulais ... ^^

Posté par
ferencre : fonction bijective 27-12-11 à 14:02

en effet, très bien, cela signifie que on a la condition y\geq x sinon l'équation n'est pas définie sur \R merci beaucoup !!


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