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Fonction circulaire réciproque

Posté par
AntoineTSI 09-11-08 à 14:28

Après 2heures de refléxion... je n'arrive toujours pas à trouver la solution... de ces 2 questions,
Ce serait bien aimable de votre part de m'aider =D

Soient  a > b > 0 et \sqrt{a^2-b^2}=c  , On considére les fonctions:

f(x)= arctan (\frac {c(sinx)} {b +a(cosx)}) et g(x)= arccos(\frac {b+ a(cosx)} {a+ b(cosx)})

1) Montrer qu'il existe \alpha \in ]0;\pi[ tel que y et z soient dérivables sur ]0;\alpha[ \cup ]\alpha;\pi[
2) Montrer que, pour tout x \in ]0;\alpha[ \cup ]\alpha;\pi[ , f'(x)= g'(x)

Voilà, j'espère que sa ira pour la présentation...
Merci,
Antoine.

Posté par
perroquetre : Fonction circulaire réciproque 09-11-08 à 14:40

Bonjour, AntoineTSI

Pour la première question:

remarquer que f et g ne sont pas définies pour   b+a cox(x) = 0   donc pour   cos(x)=-b/a   (ce qui définit alpha ...)

Ensuite, il est clair que f est dérivable sur l'ensemble considéré.

Pour montrer que g est dérivable sur l'ensemble considéré, il suffit de montrer que, pour tout x de l'intervalle considéré:
\left| \frac{b+a\cos x}{a+b\cos x}\right| < 1


Pour la deuxième question:

Quelles sont les expressions des dérivées que tu as obtenues ?

Posté par
AntoineTSIre : Fonction circulaire réciproque 09-11-08 à 15:07

euh j'ai obtenu (sauf erreur de ma part):

f'(x)=\frac {c(cosx)( b+ acosx)}{2(csinx)^2+ \frac {a}{2c}
et
g'(x)= \frac {-[(asinx)(a+bcosx)+(b+ acosx)(bsinx)](a+ bcosx)}{cosx(b-a)+a-b}

en utilisant arctan'(x)= \frac {1}{1+x^2} et arccos'(x)= \frac {-1}{\sqrt{1-x^2}}

Posté par
perroquetre : Fonction circulaire réciproque 09-11-08 à 15:36

Tu as fait des fautes de calcul. Je détaille le calcul de g':

3$ g'(x)=\ -\ \frac{\frac{ -a\sin(x) (a+b\cos x)+b\sin x(b+a\cos x)}{(a+b\cos x)^2}}{\sqrt{1-\left(\frac{b+a\cos x}{a+b\cos x}\right)^2}}

\sqrt{1-\left(\frac{b+a\cos x}{a+b\cos x}\right)^2} = \sqrt{\frac{a+b\cos x)^2-(b+a\cos x)^2}{(a+b\cos x)^2}} = \frac{\sqrt{(a+b\cos x - b-a\cos x)(a+b\cos x+b+a\cos x}}{a+b\cos x}=\frac{\sqrt{(a-b)(1-\cos x) (a+b)(1+\cos x)}}{a+b\cos x}

Sachant que c²=a²-b²  et  que  sin x est positif, on en déduit:
\sqrt{1-\left(\frac{b+a\cos x}{a+b\cos x}\right)^2}=\frac{c\sin x}{a+b\cos x}

Par ailleurs:
3$ \frac{ -a\sin(x) (a+b\cos x)+b\sin x(b+a\cos x)}{(a+b\cos x)^2}= \frac{(b^2-a^2)\sin x}{(a+b\cos x)^2}

Donc, finalement

g'(x)=\frac{c}{a+b\cos x}


Il ne reste plus qu'à vérifier que   f'(x)=g'(x)

Ca m'a pris beaucoup de temps de rentrer en latex le calcul de g'(x). Donc, si tu veux des indications supplémentaires, il faudra me détailler le calcul de f'(x).

Posté par
AntoineTSIre : Fonction circulaire réciproque 09-11-08 à 16:09

Cela m'a bien aidé, je vous en remercie très sincèrement... je me débrouillerais par la suite,
Encore une fois merci.
Antoine.

Posté par
AntoineTSIre : Fonction circulaire réciproque 09-11-08 à 18:12

je crois qu'à la fin de votre raisonnement du calcul de g'(x) vous ayez fait une petite faute de calcule

Je trouve g'(x)= \frac {-1}{a+bcosx}

Posté par
perroquetre : Fonction circulaire réciproque 09-11-08 à 18:19

Dans l'expression de g'(x), il y a un signe  "-"  au début ... Et g'x) est bien égal à
3$ \frac{c}{a+b\cos x}

Posté par
AntoineTSIDérivée et Primitive avec arccos 10-11-08 à 18:19

Une petite aide pour trouver la Dérivée de cette fonction, si possible votre développement pour voir comment vous raisonnez dessus....

1)Avec a>b>0 \sqrt{a^2-b^2}
g(x)= arccos \frac {b+ acosx}{a +bcosx}

et

2) (rien avoir avec la fonction d'avant) Déduire sur chacun des intervalles une primitive de la fonction f: x\to \frac{1}{\sqrt {|x\sqrt {x+2}|}
Sachant qu'on me demandait dans la question précédente la formes canonique de |x(x+2)| sur chacun des intervalles...
Et j'ai:  -si |x(x+2)| >0  alors (x+1)^2-1
            -si |x(x+2)| <0  alors 1-(x+1)^2

Voilà merci,
Antoine.

*** message déplacé ***

édit Océane : merci de ne pas poster ton exercice dans des topics différents, les rappels sont pourtant bien visibles.
En postant un petit message dans ton topic, il remonte automatiquement parmi les premiers.

Posté par
Youpire : Dérivée et Primitive avec arccos 10-11-08 à 18:57

pour le 1) je ne comprend pas trop ce que vient faire le "\sqrt{a^2-b^2}"

pour le 2) la fonction est définie sur 3$]-2;0[\cup]0;+\infty[

donc sur 3$]0;+\infty[  on a 3$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{x\sqrt{x+2}}

donc 3$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{\sqrt{x^3+2x^2}}

3$ f(x)=(x^3+2x^2)^{-\frac{1}{4}}

donc 3$ \fbox{f^'(x)=\frac{3x^2+4x}{4(x^3+2x^2)^{\frac{5}{4}}}}

sauf erreur

*** message déplacé ***

Posté par
JackPTDérivée Avec fonction circu réciproque 10-11-08 à 18:57

Bonjour!

Si vous pouviez bien m'aider à dériver cette fonction.. j'ai un peu de mal avec ceci... ='(
Il faut prendre en compte les conditions qui sont: a >b >0 , \sqrt {a^2-b^2}=c

f(x)= arctan \frac {csin(x)}{b+ acosx}

Si vous pouviez mettre votre raisonnement, sa m'éclaircirait l'esprit!!
Merci,
Bye

*** message déplacé ***

Posté par
Youpire : Dérivée et Primitive avec arccos 10-11-08 à 18:58

à toi de trouver maintenant sur 3$]-2;0[

*** message déplacé ***

Posté par
veledare : Dérivée Avec fonction circu réciproque 10-11-08 à 19:27

bonsoir,
tu dérives arctan(u)  la dérivée c'est u'/(1+u²) où est le problème
tu calcules u'? on verra aprés

*** message déplacé ***

Posté par
Youpire : Dérivée et Primitive avec arccos 10-11-08 à 19:39

je viens de me rendre compte que j'ai oublié un signe "moins" pour la dérivée ...

*** message déplacé ***

Posté par
AntoineTSIre : Dérivée et Primitive avec arccos 10-11-08 à 19:54

Le 1) \sqrt {a^2-b^2}=c c'est une condition de l'exercice pour simplifier le calcul c'est tout... et pour celui-ci il me faut la dérivé
Le 2) Il me faut la primitive, et non la dérivé....

*** message déplacé ***

Posté par
JackPTre : Dérivée Avec fonction circu réciproque 10-11-08 à 20:42

Je trouve \frac {bccosx+ ac}{b -sin^2x + 2a (a +bcosx)} mais normalement je devrais trouver: \frac {c}{a +bcosx} c'est pour cela que je demande un développement de cette dérivée...

*** message déplacé ***

Posté par
veledare : Dérivée Avec fonction circu réciproque 10-11-08 à 21:55

d'accord
j'écris d'abord u'
u'(x)=\frac{(c.cos(x))(b+a.cos(x))+c.sin(x)a.sin(x)}{(b+a.cos(x))^2}=c\frac{a+bcos(x)}{(b+a;cos(x))^2}
1+u²=1+\frac{c^2sin^2(x)}{(b+a.cos(x))^2)}
\frac{u'(x)}{1+u(x)^2}=\frac{c(a+b.cos(x)}{c^2sin^2(x)+(b+a.cos(x))^2}
on développe le dénominateur
D=c^2sin^2(x)+b^2+2ab.cos(x)+a^2cos^2(x)
je remplace a^2 parc^2+b^2=>D=b^2+2ab.cos(x)+b^2cos^2(x)+c^2=a^2+2ab.cos(x)+b^2cos^2(x)=(a+b.cos(x))^2
doncf'(x)=\frac{c}{a+b.cos(x)}en simplifiant le rapport par (a+b.cos(x))

*** message déplacé ***


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