Pour x ]0 , 1[  on a x^1/2(x-x²)^-1/2 = (1 - x)^-1/2 qui tend vers 1 lorsque x tend vers 0 donc arcsin(x^1/2(x-x²)^-1/2)  tend vers /2.

Si on pose h(0) = /2 on obtient un application de [0 , 1[ dans qui est continue.

Si x ]0 , 1[ , h est dérivable au point x et h'(x) = (-1/2) /(1 - x) . h'(x) tend vers -1/2 quand x tend vers 0 DONC (c'est un théorème)
                                                   1.h est dérivable en 0
                                                   2.h'(0) = -1/2
                                                   3.h' est continue sur [0 , 1[


Vu ce que tu "trouves" il doit y avoir une erreur qq part

En fait c'est
si x ]0,1[
1 si x=0

Avec ta bonne fonction h tes calculs me semblent justes.

Montre que h'(x) admet une limite finie m lorsque x tend vers 0. Alors tu aura s montré que :
h est dérivable en 0 , h'(0) = m et h' est continue sur [0 , 1[ .

les DL te serviront.

Merci pour cette réponse

J'ai encore une petite question, de ces question il faut en déduire
le développement en série entière de h sur [0,1[.
J'utilise la dérivée  pour obtenir l'équation différentielle
2(x-x²)y+2x(1-x)y'=1
on cherche une série entière alors je pose
y=
je résoud 2(x-x²)y+2x(1-x)=0  et y=a_0
mais je ne vois pas comment avoir une solution particulière pour trouver
2(x-x²)y+2x(1-x)y'=1

Encore merci pour l'aide

En ce qui concerne le développement en série entière de h autour de 0:
Il y a au moins 2 méthodes :
1.On utilise la notion de série formelle (avantage : les questions de convergence arrivent à la fin)
   Je ne sais pas si ça se fait en sup

2.On fait le raisonnement suivant :

Analyse : Supposons qu'il existe une suite u : et r un réel > 0 tels que pour tout x de ]-r , +r[ la série de terme général u(n)xⁿ (n 0) soit convergente de somme h(x) alors (c'est un théorème) h est infiniement dérivable et  pour tout k la série de terme général (n!/(n - k)!)u(n)x^n-k (n k) est convergente de somme D^kh(x) (dérivée k-ième de h au point x)
(On dit souvent qu'on dérive terme à terme !!)
En particulier pour tout k on a : D^kh(0) = k!.u(k)

Ici si P: x 2(x - x²) et Q : x 1 - 2x on a P.h' + Q.h = 1 et si k * on a D^k(P.h' + Q.h) = 0 . On développe "en se servant de Leibnitz" , on calcule en 0 et on obtient une relation entre u(k) et u(k - 1) (sauf erreur ce doit être (2k + 3)u(k) = (2k + 4)u(n - 1) ) qui permet d'avoir une jolie formule pour les u(n)(du type u(n)= f_n(n)).

Synthèse: Soit a : n f_n(n). Si ma formule est juste a(n + 1)/a(n) 1 donc pour tout x de ]-1 , 1[ la série de terme général a(n)xⁿest convergente et si on désigne par g(x) sa somme alors g est indéfiniement dérivable de ]-1 , 1[ dans .
On vérifie que P.g' + Q.g = 1 de sorte que P.(h' - g') + Q.(h - g) = 0 et que x (x - x²).(h(x) - g(x)) est constante sur ]-1 , 1[ ( car de dérivée nulle). On a donc h(x) - g(x) = c.(x - x)^-1/2 pour 0 < x < 1 (où c est la seule valeur prise par h - g sur ]-1 , 1[). Si on avait c 0 , h(x) - g(x) ne tendrait pas vers 0 quand x tend vers 0 ce qui n'est pas vrai . On a donc h = g sur ]-1 , 1[ .

On a donc prouvé que h est la restriction à ]-1 , 1[ de g , somme de la série entière ₀
⁺a(n)xⁿ

Je vais abuser,
les questions d'apres me posent aussi des problèmes
on définit sur ]0,+[ la fonction g par
g(t)=h()
Pour tout réel t strictement positif, déterminer arcsin(
en fonction de arctan(t). En déduire g(t) en fonction de arctan(t).

on pose, pour tout réel t strictement positif,
g_n (t)=
Montrer que la série gn' converge normalement sur tout compact de ]0,+[
j'ai calculé gn', j'ai marqué pour tout x de [a,+[
|gn'(t)|mais je ne vois pas comment conclure.
Encore merci