salut

une fonction continue dans Z est constante...

démonstration: avec la definition de la continuité, la connexité...

salut

comment peut-on le voir géométriquement que c'est continue ?

que c'est constante pardon

f(x)=k
droite horizontale....

je n'ai rien dit, si elle est continue dans Z, elle est focrément constante

pour la démonstration :

si je prends f: I->Z continue, alors :


on voit bien que pour cette fonction à valeurs dans Z, si pour tout x, on a la distance f(x)-f(a) qui doit être rendu aussi petite que possible, alors il faut que f soit constante.

mais comment le montrer proprement ?

merci

supposons f continue en a et prenons =1/2
alors >0 tel que |x-a|< |f(x)-f(a)|<1/2

or on est dans Z donc f(x)=f(a) sur ]a-,a+[ et est constante sur cet intervalle

puis on recommence jusqu'à recoller tous ces morceaux d'intervalles....

pourquoi f(x)=f(a) sur ]a-B,a+B[ ?

ok c'est parce qu'on est dans Z

Bonjour,
c'est une conséquence immédiate du théorème des valeurs intermédiaires.