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Fonction continue et uniformément continue

Posté par
robby3 27-10-08 à 15:41

Bonjour tout le monde, juste une petite question:

f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} continue et admet des limites finies en + et - l'\infty,alors pourquoi f est uniformément continue?

Merci d'avance de vos réponses

Posté par
Camélia Correcteurre : Fonction continue et uniformément continue 27-10-08 à 15:54

Bonjour robby

Soit \varepsilon >0. Le critère de Cauchy pour les limites:

(\exists A > 0) x\geq A\ et\ x'\geq A \Longrightarrow |f(x)-f(x')|< \varepsilon/3
(\exists B < 0) x \leq B\ et \ x'\leq B\Longrightarrow |f(x)-f(x')| < \varepsilon/3

et tu finis en utilisant Heine sur [B,A]

Posté par
robby3re : Fonction continue et uniformément continue 27-10-08 à 16:05

Bonjour Camélia,

avec le "critere de Cauchy pour les limites",tu traduit simplement le fait que f admet des limites finies en + et - l'infini,c'est ça?
je comprend pas le \epsilon/3

le théoreme de Heine sur [B,A] me dit que comme f est continue sur R,elle est continue sur [B,A] segment fermé donc f continue uniformément sur [B,A].

Posté par
Camélia Correcteurre : Fonction continue et uniformément continue 27-10-08 à 16:14

Le \varepsilon /3 est de la coquetterie! A la fin je vais trouver un \varepsilon
plutôt que 3! Oui, j'ai simplement traduit le fait que f admet des limites finies. Maintenant si tu écris la continuité uniforme sur [B,A], tu peux finir.

Posté par
robby3re : Fonction continue et uniformément continue 27-10-08 à 16:26

bon...
j'écris l'uniforme continuité sur [B,A]!

\rm \forall \epsilon >0,\exist \delta>0 tq \forall(x,x')\in [B,A]^2, |x-x'|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(x')|<\epsilon

c'est bien ça?
(faudrait mettre \epsilon/3 là-aussi?)

Posté par
Camélia Correcteurre : Fonction continue et uniformément continue 27-10-08 à 16:36

Peu importe! Maintenant tu regardes que donne |x-x'|< sur R tout entier.

Posté par
robby3re : Fonction continue et uniformément continue 27-10-08 à 16:52

je comprend pas...

"ce que donne |x-x'|<\delta sur \mathbb{R}"...??
ça donne:

x'-\delta<x<x'+\delta
donc
A-\delta\le x\le B+\delta
??

Posté par
Camélia Correcteurre : Fonction continue et uniformément continue 27-10-08 à 16:56

Mais non, x et x' n'importe où et |x-x'| < . Oublie /3, ce n'était pas une bonne idée!

Posté par
Camélia Correcteurre : Fonction continue et uniformément continue 27-10-08 à 17:12

Bon, là je m'en vais, donc je t'écris toute la démonstration, correctement.

Tu reprends mes A et B de 15:54 avec au bout.

J'utilise tes notations pour l'uniforme continuité dans [B,A] de 16:26.

Soient x et x' tels que x < x' et |x-x'| < . Si x et x' sont tous les deux dans [B,A], ou bien tous les deux dans [A,+[, ou bien dans ]-,B], on a bien |f(x)-f(x')|<\varepsilon.

Reste les cas x < A < x' et x < B < x'. Pour le premier, on a |A-x| < et A et x' dans [A,+[, donc

|f(x)-f(x')|\leq |f(x)-f(A)|+|f(A)-f(x')| < 2\varepsilon

et quelque chose du même genre pour le deuxième cas. (Donc j'aurais été mieux inspirée de prendre des /2 dès le début, mais ça n'a aucune importance).

Posté par
robby3re : Fonction continue et uniformément continue 27-10-08 à 17:17

en fait faut-il que je distingue selon la position de x et x' dans R cad dans \rm ]-\infty,B];[B,A] et [A,+\infty[ ?

Posté par
robby3re : Fonction continue et uniformément continue 27-10-08 à 17:19

oups!


en fait,ok pour les 3 cas,mais comment x<A<x' sachant 15:54...comme y'a une limite finie en +\infty, x\ge A non?

Posté par
robby3re : Fonction continue et uniformément continue 27-10-08 à 18:22

ok,en fait c'est bon,j'ai compris le truc je crois...
Merci Camélia!

Posté par
robby3re : Fonction continue et uniformément continue 28-10-08 à 14:21

c'est bon finalement on l'a fait ce matin en td, et on a bien batailler dessus meme!
j'ai pigé
Merci encore!

Posté par
Camélia Correcteurre : Fonction continue et uniformément continue 28-10-08 à 14:25

C'est bien comme ça que vous l'avez fait?

Posté par
robby3re : Fonction continue et uniformément continue 28-10-08 à 14:34

oui! Absolument!
on a failli oublier le cas litigieux lorsqu'ils sont aux alentours de A...

Posté par
Camélia Correcteurre : Fonction continue et uniformément continue 28-10-08 à 14:36

Heureusement que j'étais là...

Posté par
robby3re : Fonction continue et uniformément continue 28-10-08 à 14:38

oui!


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