Tout d'abord bonjour à toutes et à tous!

Voilà l'énoncé de mon problème :
Par un théorème du cours on sait que toute application continue sur un intervalle fermé borné est bornée et atteint ses bornes.
1. Donner un exemple d'application f continue sur [0,1] telle que f atteint son maximum (i) au bord de l'intervalle; (ii) à l'intérieur de l'intervalle.
2. Donner des contres-exemples à ce théorème lorsque : (i) l'application n'est pas continue; (ii) l'intervalle est borné mais pas fermé; (iii) l'intervalle est fermé mais pas borné.
3. Donner un exemple d'application [0,1] qui soit bornée, mais pas continue.

Voilà ce que j'ai fait :
1. (i) je pensais à f(x) = x; (ii) je pensais à f(x) = sin(2x).
2. (i) je pensais à f(x) = 1/(x-0,5) sur l'intervalle [0,1]; je sèche pour (ii) et (iii), je n'arrive pas vraiment à me représenter ce que je dois trouver. Je crois que pour (ii) on doit trouver une fonction qui quand x tend vers l'infinie, doit tendre vers un nombre fini (avec f croissante et ne dépassant pas ce nombre par exemple) et pour (iii) je crois que l'on doit trouver une fonction qui par exemple est définie sur [0,1] et en f(1) n'existe pas et tend vers l'infini. Est-ce ce qui est demandé?
3. je pensais à f(x) = E(5x).

Voilà, j'aimerais savoir si ce que j'ai fait est juste, et sinon me donner des pistes sur ce que je n'arrive pas à résoudre.

Merci à toutes et tous,
Chloé.