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fonction contractante

Posté par
marie 64 26-12-09 à 15:48

Bonjour a tous !

Soit f une fonction bornee de R dans R, et Lipschitzienne sur R, c'est-a-dire :
qu'il existe C > 0; pour tout(x; y) qui appartient a R²; |f(x) - f(y)|C|x - y|:
Soit p appartient N*. Montrer que la fonction fp definie par fp(x) = f(x)^p est Lipschitzienne sur R

est ce que je dois dire qu'elle est continue et que sa dérivée est bornée donc elle est contractante ? ou je trouve une recurrence ?

Posté par
Narhmre : fonction contractante 26-12-09 à 16:09

Bonjour,

En fait, dans ce que tu proposes on ne sait rien de la régularité de f.
On ne peut pas affirmer que fp soit continue, dérivable ou autre...

Le point clé de tout ca repose sur le fait que l'application 3$ x\mapsto x^p avec p un entier non nul est lipschitzienne sur un segment de .

Posté par
Drassebre : fonction contractante 26-12-09 à 16:10

Bonjour,

\forall x,y \in \mathbb{R}^2, \forall p \in \mathbb{N}^*, |f^p(x)-f^p(y)| = |f[f^{p-1}(x)] - f[f^{p-1}(y)]| \leq C.|f^{p-1}(x)-f^{p-1}(y)| par hypothèse. On itère ça, on obtient bien que f est C-Lipschitzienne \Rightarrow f^p est C^p-Lipschitzienne.

Posté par
marie 64re : fonction contractante 26-12-09 à 16:11

ok ! merci beaucoup ..

Posté par
Drassebre : fonction contractante 26-12-09 à 16:11

Décidément Narhm, nous nous croisons sur plusieurs sujets ! Encore désolé.

Il me semble que niveau régularité, on a Lipschitzianité \Rightarrow Continuité, n'est-il pas ?

Posté par
Smart91re : fonction contractante 26-12-09 à 16:14

Bonjour,

pour ce qui est de tes questions : une fonctions lipschitienne est en effet continue mais pas forcement dérivable (la fonction valeur absolue est un exemple).
Ensuite, une fonction est contractante lorsque | f(x) -f(y)|<|x-y|, or là tu n'as aucune information su la constante C, tu ne pourras donc jamais démontré que f est contractante.

Par contre tu n'as pas utilisé le fait que f est bornée (ce qui est essentiel dans la preuve de ton résultat).

En somme, pour démontrer un truc comme ca, il faut que tu partes du résultat :
tu veux montrer qu'il esxiste C_2 >0 tel que :
\forall (x,y), \, |f(x)^p-f(y)^p|<C_2 |x-y|.
Il apparait alors plus clairement ce que tu dois faire, une petite factorisation par |f(x)-f(y)| va te permettre de conclure rapidement...
je te rappelle que
|f(x)^p-f(y)^p| = |f(x)-f(y)||\Sum_{k=0}^{p-1}f(x)^{k} f(y)^{p-1-k}| .
Je crois que tu pourras ensuite conclure simplement en utilisant que f est borné.

Posté par
Smart91re : fonction contractante 26-12-09 à 16:15

encore un problème LaTeX :
je voulais écrire :
|f(x)^p-f(y)^p| = |f(x)-f(y)||\Sigma_{k=0}^{p-1}f(x)^{k} f(y)^{p-1-k}| .

Posté par
Narhmre : fonction contractante 26-12-09 à 16:17

Hum Drasseb, pourquoi aurait-on 3$ |f^p(x)-f^p(y)|=|f(f^{(p-1)}(x))-f(f^{(p-1)}(y))| ?

Et oui effectivement, Lipschitz => continue, j'ai écrit trop vite , je voulais plus insister sur la dérivabilité...

Posté par
marie 64re : fonction contractante 26-12-09 à 16:18

smart 91 je ne vois pas comment on conclu

Posté par
Smart91re : fonction contractante 26-12-09 à 16:20

Bonjour à tous,
je crois que ici f(x)^p signifie le produit de f(x) p fois, et non la composition, à moins que je me trompe...

Posté par
marie 64re : fonction contractante 26-12-09 à 16:22

non fp(x) =xp

Posté par
marie 64re : fonction contractante 26-12-09 à 16:22

erreur de frappe desolé

Posté par
Drassebre : fonction contractante 26-12-09 à 16:23

Oopsi merci Narhm, retournant dans le premier post de marie 64 je constate qu'en fait ici on ne travaille pas avec f^p (composée p fois de f) mais plutôt avec la fonction f_p : x \mapsto f(x)^p et je me confonds donc en excuses, ma réponse étant hors sujet.

Posté par
marie 64re : fonction contractante 26-12-09 à 16:23

ah non pardon c'eatit bien ça..

Posté par
marie 64re : fonction contractante 26-12-09 à 16:24

mais je ne vois toujours pa en quoi on demontre qu'elle est contractante..

Posté par
Smart91re : fonction contractante 26-12-09 à 16:27

Pour conclure :
|f(x)^p-f(y)^p| = |f(x)-f(y)||\Sigma_{k=0}^{p-1}f(x)^{k} f(y)^{p-1-k}|
|f(x)^p-f(y)^p| \leq |f(x)-f(y)|\Sigma_{k=0}^{p-1}|f(x)^{k} f(y)^{p-1-k}| (inégalité triangulaire)
|f(x)^p-f(y)^p| \leq C |x-y|\Sigma_{k=0}^{p-1}|f(x)^{k} f(y)^{p-1-k}|
(f est lipschitzienne)
|f(x)^p-f(y)^p| \leq C |x-y|\Sigma_{k=0}^{p-1}M^{k} M^{p-1-k}|
(M une borne de f)
je pose
C_2=p C M^{p-1}
et alors fp est lipschitienne avec la constante C_2.

Ici, il n'y a rien de compliquer, tu as juste a suivre naturellement les étapes: tu veux montrer que
|f(x)^p-f(y)^p| \leq C_2 |x-y|, tu utilise ce que tu sais sur f .

Posté par
Drassebre : fonction contractante 26-12-09 à 16:30

Pour finir de mettre le bazard dans ce topic, j'ajoute que je ne suis pas d'accord avec Smart91 sur la définition d'une application contractante : pour moi f est C-contractante dès lors qu'elle est Lipschitzienne de rapport C<1, ce qui semble a priori peu différent de ta définition mais qui en fait change tout.

Par contre je le rejoins, marie 64, pour affirmer qu'on va avoir bien du mal à prouver une contractante sans rien savoir du C avec lequel on part.

Ceci dit, nous n'avons toujours pas répondu proprement à l'exercice initial.

Posté par
Narhmre : fonction contractante 26-12-09 à 16:32

Tu travailles avec fp comme étant le produit p fois de f ou alors la composée p fois de f ?
On s'y perd un peu maintenant

Smart91 > Finalement, c'est montré que l'application 3$ x\mapsto x^p est lipschitzienne sur un segment de 3$ \mathbb{R}. Et si le segment est de la forme [-M,M], la constante de Lipschitz est pMp-1.

Oui c'est vrai qu'etre contractant est plus fort que ce qu'à enoncer Smart91 plus haut.

Posté par
Drassebre : fonction contractante 26-12-09 à 16:33

Bon, j'ai compris, je suis un posteur trop lent. Je prends ma retraite !

Posté par
marie 64re : fonction contractante 26-12-09 à 16:34

merci a vous tous !
bne soiree

Posté par
Drassebre : fonction contractante 26-12-09 à 16:35

Donc conclusion pour toi marie 64 : -si tu veux la réponse à ta question, lire les posts de Narhm et pour le détail lire les calculs qui se trouvent dans les posts de Smart91 ;

-si c'était pour la composée p fois de f, lire mon premier post.

Posté par
Drassebre : fonction contractante 26-12-09 à 16:35

Et voilà, encore doublé...

Posté par
Narhmre : fonction contractante 26-12-09 à 16:37



Bonne soirée

Posté par
marie 64re : fonction contractante 26-12-09 à 16:39

mais narhm comment tu redigerais ta proposition ?

Posté par
Smart91re : fonction contractante 26-12-09 à 16:41

En tout cas les gens sont réactifs sur ce forum
Désolé pour ma fausse définition de contractante (je voulais simplement dire que ont ne pouvais pas l'espérer l'etre).
Oui Nahrm, désolé aussi, je n'avais pas vu que tu avais répondu à la question :p

Posté par
Narhmre : fonction contractante 26-12-09 à 16:56

Smart91 l'a très bien rédigé dans son message de 16:27.

Deux autres manieres :  Appelons M la borne f.
Si pour toi il est clair que la fonction 3$ g \ : \ x\mapsto x^p est lipschitzienne sur tout segment I de , alors c'est immédiat.

¤ Si on prend I=[-M,M], alors g étant lipschitzienne, il existe A>0 tel que pour tout x,y dans I=[-M,M], |xp-yp|A|x-y|.
Ceci étant vrai pour tout x,y dans [-M,M] et f étant à valeur dans [-M,M], on a donc que pour tout x,y dans R, |(f(x))p-(f(y))p|A|f(x)-f(y)|. Reste plus qu'à se souvenir que f est elle meme lipschitzienne, de constante égale à B disons.

Il viens ainsi que pour tout x,y dans R, |(f(x))p-(f(y))p|A|f(x)-f(y)|AB|x-y| i.e. fp est lipschitzienne.

¤ De manière plus rapide, la composée de 2 fonctions lipschitziennes est lipschitzienne !
f est lipschitzienne, la fonction 3$ h : [-M,M] \rightarrow \mathbb{R} \ , \ x\mapsto x^p est aussi lipschitzienne. Donc la composée des deux l'est aussi, et c'est précisement fp la composée de f avec h.

>Smart91 : Y a pas de mal : )


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