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fonction d'ensemble

Posté par
clasp 29-10-08 à 15:11

Hello je dois prouver que :

f(U)\cup f(V) = f(U\cup V)

ainsi que

f(U\cap V) \subseteq f(U) \cap f(V)

Avec f : X \rightarrow Y  et U,V sous-ensemble de X

qqn peut m'aider?

Merci d'avance

Ps désolé si la question a déjà été posée j'arrive pas à utiliser Latex pour les recherches

et pour le niveau j'ai aucune idée suis pas français alors bts c'est du chinois pour moi

Posté par
Camélia Correcteurre : fonction d'ensemble 29-10-08 à 15:42

Bonjour et bienvenue sur l'

Ca marche par double inclusion. Alors voilà un début:

Soit y\in f(U)\cap f(V). Alors y est dans f(U) ou dans f(V). S'il est dans f(U) il existe u\in U tel que y=f(u). Mais alors u\in U\cap V donc y\in f(U\cap V). Raisonnement similaire si y\in f(V). Nous venons de prouver que f(U)\cap f(V)\subset f(U\cap V)

Tu continues?

Posté par
claspre : fonction d'ensemble 29-10-08 à 15:56

Alors y est dans f(U) ou dans f(V).
Tu voulais dire que y est dans f(U) et f(V), non?

je continuerais par x\in U, x\notin V alors f(x) \in f(U), f(x)\notin f(V) ainsi je démontre qu'il peut exister un x qui appartient à f(U)\cap f(V) sans appartenir à f(U \cap V)

Posté par
Camélia Correcteurre : fonction d'ensemble 29-10-08 à 16:11

Excuse-moi! Je faisais des réunions et j'ai tapé partout intersection! mais ça marche, bien sur en remplaçant ou par et.

Pour montrer que l'autre inclusion n'est pas vraie, le mieux c'est de prendre un exemple. Le plus simple, E={0,1}, U={0}, V={1}, f:EE définie par f(0)=f(1)=0. On a U\cap V=\emptyset et f(U)\cap f(V)\neq \emptyset


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