Niveau Licence Maths 1e ann

Fonction de Bessel (?)

Posté par
John-Z 29-11-09 à 17:30

Bonjour,

Je suis coincé sans un exercice :

$J(x)= \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} \cos (nt - x \sin nt) dt$

Montrer que pour tout x, $J(-x)=(-1)^n J(x)$ .

J'ai calculé $(-1)^n J(x)$ et j'ai obtenu :

$(-1)^n J(x) = (-1)^n \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} \cos (nt - x \sin nt) dt \\ = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} (-1)^n \cos (nt - x \sin nt) dt$
$= \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} \cos (nt - (nt - x \sin nt)) dt$ car pour tout x, $(1)^n \cos x = \cos (n\pi +x)$
$(-1)^n J(x)= \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} \cos (-(-x) \sin nt)dt$

Tout ce que j'ai fait est absurde !

Merci de votre aide.

Posté par re : Fonction de Bessel (?) 29-11-09 à 17:41

Bonjour, John-Z

On part de J(-x), on pose le changement de variable t=-u.
Et on obtient le résultat recherché, avec un peu de trigonométrie.

Posté par re : Fonction de Bessel (?) 03-12-09 à 14:45

Merci, je suis arrivé !

Mais la question suivante qui m'est difficile

Montrer que $J_n$ est dérivable et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ , et que $x(J'_n(x) + J_{n+1}(x))=nJ_n(x)$ .

$J(x)$ est dérivable car elle est une intégrale soit $(J_n(x))'=\frac{1}{\pi} cos(nt -x\sin t)$ .

Pour le montrer, faut-il calculer le premier membre et le second membre pour établir l'égalité ?

Merci.

Posté par re : Fonction de Bessel (?) 03-12-09 à 14:45

(PS : excuse-moi pour le temps de répondre)

Posté par re : Fonction de Bessel (?) 04-12-09 à 20:32

$3$ J'_n(x)=-\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\sin(nt)\sin(nt-x\sin(nt))\, dt$

Sous certaines conditions, la dérivée de $3$x\to \int_a^bf(x,t)\, dt$ vaut $3$x\to \int_a^b\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\, dt$

Posté par re : Fonction de Bessel (?) 05-12-09 à 19:18

Oui, j'ai appris le cours !

Mais le calcul devient plus compliqué !

On pose $f(t,x)=\cos(nt-x\sin t)$ . Elle est continue par rapport aux 2 variables x et t.
$\frac{d}{dx}f(t,x) = \sin t \sin(nt-x\sin t)$ existe est continue par rapport aux 2 variables x et t.
Donc, d'après le cours, on a :
$J'_n (x)=(\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos (nt -x\sin t)dt)' = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin t \sin(nt-x\sin t)dt \\ J_{n+1} (x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos ((n+1)t -x\sin t)dt = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos (t+nt -x\sin t)dt = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi (\cos t \cos(nt -x\sin t) - \sin t \sin(nt - x\sin t)dt$

$J_{n+1} (x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos t \cos(nt -x\sin t) dt - \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin t \sin(nt - x\sin t)dt$
Par somme, on a :

$x(J'_n (x) + x J_{n+1} (x)) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi x \cos t \cos(nt -x\sin t) dt$
En intégrant par partie, on pose
$u' = \cos t \\ u =-\sin t \\ v=\cos(nt-x\sin t) \\ v'= \sin t \sin (nt - x \sin t)$
$J = x(J'_n (x) + x J_{n+1} (x)) = \frac{x}{\pi} [[-\sin t \cos (nt - x \sin t)]^\pi_0 + \int_0^\pi x \sin^2 t \sin(nt -x\sin t)] dt$
$J=\frac{x}{\pi} \int_0^\pi x \sin^2 t \sin(nt -x\sin t) dt = \frac{x}{\pi} \int_0^\pi x t \sin(nt -x\sin t) dt - \frac{x}{\pi} \int_0^\pi x \cos^2 t \sin(nt -x\sin t) dt$
On intègre une nouvelle fois J par partie ?

La question suivante : montrer que $(F) : x^2 J''_n (x) + x J'_n(x) + (x^2 - n^2)J_n(x)=0$ .

$J_n (x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos(nt-x\sin t)dt$
$J'_n (x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin t \sin(nt-x\sin t)dt$
$J''_n (x) = - \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin^2 t \cos(nt-x\sin t)dt$

$(F) = x^2J''_n (x) + xJ'_n(x) + (x^2-n^2) J_n(x)$

$(F) = -\frac{1}{\pi} \int_0^\pi x^2\sin^2 t \cos(nt-x\sin t)dt + \frac{1}{\pi} \int_0^\pi x\sin t \sin(nt-x\sin t)dt + \frac{1}{\pi} \int_0^\pi x^2\cos(nt-x\sin t)dt - \frac{1}{\pi} \int_0^\pi n^2 \cos(nt-x\sin t)dt = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi - x^2 \cos(nt-x\sin t)dt + \\ \frac{1}{\pi} \int_0^\pi x^2\cos^2 t \cos(nt-x\sin t)dt+ \frac{1}{\pi} \int_0^\pi x\sin t \sin(nt-x\sin t)dt + \frac{1}{\pi} \int_0^\pi x^2\cos(nt-x\sin t)dt - \frac{1}{\pi} \int_0^\pi n^2\cos(nt-x\sin t)dt=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi x^2\cos^2 t \cos(nt-x\sin t)dt + \\ \frac{1}{\pi} \int_0^\pi x\sin t \sin(nt-x\sin t)dt - \frac{1}{\pi} \int_0^\pi n^2\cos(nt-x\sin t)dt$
Mais après l'avoir intégré par partie, on ne peut plus continuer...

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