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Fonction de classe C1
Bonjour a tous. J'ai un petit probleme sur un exercice. Je pense avoir réussi à le faire, mais je ne sais pas si ma rédaction est juste. J'utilise des DL et comme nous n'avons pas encore beaucoup d'entraînement dessus, je voudrais savoir si ca marche. Bref
Pour tout (a,b) dans R², on a g : [0;Pi/2] -> R
x -> si x > 0 et a sinon
1) Montrer que g est dérivable sur [0; Pi/2] et donner g'(x) pour x dans [0;Pi/2]
2) Démontrer que g est de classe C1
En fait j'ai répondu aux 2 questions en meme temps :
g est clairement de classe C1 sur ]0;Pi/2]
g est continue sur le fermé car: pour tout x dans ]0;Pi/2] g(x) ~ ax / x = a = g(0)
x->0 et x différent de 0
Donc on en déduit que lim g(x) = g(0) = a
x -> 0
Soit x >0
g'(x) =
=
Dans l'ordre de ces termes au numérateur, je fais un DL2, DL1, DL1 DL0 et au dénominateur un DL1
J'obtiens : g'(x) =
Soit g'(x) = b + o(1) ce qui est un DL0 de g': lim g'(x) = b
x->0 x différent de 0
Avec ce qu'on a dit avant, g est de classe C1 et g'(0) = b
Est-ce juste?
Bonjour,
le début est bon, par contre pour dire que le dernier quotient vaut b + o(1) il faut justifier davantage.
Je te conseille plut^^ot e dire que le dernier quotient est équivalent (en 0) à bx²/x² = b, donc qu'il tend vers b.
Ta conclusion, en revanche, est fausse: ce n'est pas parce que f' tend vers b en 0 qu'elle est forcément définie en ce point!
Tu dois encore regarder si f est dérivable en 0 en étidiant un taux de variation, avant d'affirmer que f est dérivable en 0.
Si jamais c'est le cas, alors de deux choses l'une:
- soit f'(0) = b, et alors f' sera continue en 0 d'après ce que tu as écrit (donc f sera C1)
- soit ce n'est pas le cas, et f ne sera pas C1.
D'accord pour l'équivalent
Par contre je pense avoir le droit de dire directement qu'elle est de classe C1 car j'ai montré que :
-elle est continue sur [0;Pi/2]
- elle est C1 sur ]0;Pi/2]
- lim g'(x) = b
x -> 0 x different de 0
C'est en effet un exo classique, mais en général, ce théorème n'est pas énoncé en cours.
Si néanmoins vous l'avez écrit dans votre couts, tu peux bien entendu t'en servir!
Oui nous l'avons énoncé en cours (mais pas encore démontré)! C'est pour cela que je ne suis pas passé par le taux d'accroissement. Ce qui me genait le plus c'était les DL, mais comme apparement ils sont justes, le reste devrait tourner plus ou moins bien ^^. Merci encore pour ta réponse (et rapide en plus!) Tigweg. Bonne journée =)
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