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Fonction de deux variables
Bonjour, j'ai cet exercice à faire et j'ai quelques petites questions dessus. L'énoncé est le suivant :
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On considère le système des 2 équations différentielles (S) défini par
et
où x et y sont deux fonctions inconnues de t.
On désigne par X et Y la solution de (S) vérifiant X(0)=2 et Y(0)=1 (on admet l'existence et l'unicité de cette solution sur IR et que X(t) et Y(t) prennent des valeurs positives).
1)Montrer que 
t de IR, où K est une constante à déterminer.
2) A partir de l'étude de la fonction f définie sur ]0;+inf[ par f(u)=exp(u)/u, établir que :
a)Il existe un nombre 0<
<1 tel que, pout tout t réel,
X(t)2 et Y(t)2.
b)Etant donné un x réel tel que et 2.
c)Si le couple (x;y) vérifie Kyexp(-y)=exp(x)/x, il en est de même pour le couple (y,x).
d)Si t est tel que X(t)=2, ou X(t)=, alors on a Y(t)=1, X'(t)=0 et Y'(t)
0.
4) Tracer l'allure de la courbe paramétrée par x=X(t),y=Y(t) pour =0,4.
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1) J'ai essayé de mettre les variables d'un côté et K de l'autre. Puis je dérive K mais ça n'a pas l'air d'être la bonne méthode pour trouver K...
2) La fonction f est décroissante de 0 à 1 puis croissante après. Sa limite est +inf en +inf.
Je ne vois pas comment procéder.
Merci à ceux et celles qui pourront m'aider 
.
salut
si tu dérives la fonction t
xye-x-y alors vvec les hypothèses tu trouves 0
donc cette fonction est constante et tu as ta relation
ok (j'ai posté moins vite)
Pour la 2) j'ai étudier la fonction mais je ne vois pas trop comment faire
tu sais que f(t)= ex/x * ey/y = e3/2 (=k)
et que ueu/u est minorée par e et tend vers +
en 0
donc f(t)>exp(x)/x
donc 
a tel que x>a
de même b tel que y>b
et tu prends =max (a,b)
f(t)>exp(x)/x
donc a tel que x>a
et f(t)>exp(y)/y
mais comment déterminer a et b (désolé je suis long à la détente)
notons g la fonction exp(u)/u ; alors f(t)=g(x)g(y)=k
or g est strictement décroissante de ]0,1] dans [e,+inf[
donc k=f(t)>g(x)e donc g'x)<k/e=e²/2 et a est l'antécédent de e²/2 par g dans ]0,1]
rem par symétrie en x et y b=a= (c'est d'ailleurs ce qu'on te demande en 2c)
d'autre part g(2)=e²/2 donc <x(t)<2
idem pour y
oups une petite question :
pour la 1)
je dérive h(t)=xye-x-y
et je remplace x'(t) et y'(t) par les valeurs du système ?
K = xyexp(-x-y)
dK/dt = exp(-x-y)[ x'y +xy' -x' -y' ] puis on remplace x' par x-xy et y' par -y+xy ?
si x(t)= ou 2 alors ky(t)exp(-y(t))=e²/2 et en remplaçant k par e3/2 alors y(t)=1
donc x'(t)=2-2*1=0 et y'(t)=-2+2*1=10
je ne demandais pas d) (merci quand-même ).
Juste une petite précision :
pour la 1)
K = xyexp(-x-y)
dK/dt = exp(-x-y)[ x'y +xy' -x' -y' ] puis on remplace x' par x-xy et y' par -y+xy (valeir de (S))?
Dans le 1) Kyexp(-y)=exp(x)/x
soit K=xyexp(-x-y)
Pour montrer que c'était une constante, vous m'avez dit de dériver K et de montrer que c'est nul.
donc dK/dt = exp(-x-y)[ x'y +xy' -x' -y' ] puis on remplace x' par x-xy et y' par -y+xy (valeur de (S))?
non ?
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