Soit g une fonction continue sur R+, décroissante sur R+ et telle que lim g(x)=0 qd x-> + ∞
On note E l'ensemble des fonctions f définies sur R+ telles que quelque soit x qui appartient à R+, f(x+1)-f(x)=g(x)

On a F_n(x)=∑(k=0 jusqu'a n) [g(k) - g(x+k)]

Dans le début de l'énoncé j'ai trouvé que Fn(p) où p appartient  N* est convergente et à pour limite g(0) + g(1) + … + g(p-1)

J'ai aussi montré que pour x fixé appartenant à R+ [Fn(x)]n était croissante qu'elle convergeait.
On a F(x)= lim F_n(x) lorsque n tend vers + ∞

J'ai montré que F était croissante et qu'elle appartenait à E.

Maintenant les questions que je n'arrive absolument pas :
a. Montrer que quelque soit n qui appartient ) N, et quelque soit x qui appartient à [0,2],
O≤F(x)-F_n(x)≤ g(n+1) + g(n+2)

(n et x étant fixés , on pourra étudier F_p(x)-F_n(x) pour p>n)

b. Soit x₀ appartenant à l'intervalle ouvert 0,2, F a une limite à droite et une limite à gauche en x₀ (le justifier). Montrer en utilisant l'encadrement précédent, que ces deux limites sont égales (Remarquer que F_n est continue en X₀)
c. Montrer que F est continue sur R+

* Alors pour le a. J'ai réussi à prouver O≤F(x)-F_n(x)  en faisant tendre p vers l'infini mais la             deuxième inégalité je n'y arrive pas.

• Pour le b. Je n'arrive  ni a prouver que f a une limite à droite et à gauche donc qu'elle est continue en x0 ni que F_n est continue en x0

Sinon pour l'encadrement je fais + F_n(x0) et j'obtiens la mm limite quand n tend vers plus l'infini
• Pour le c. ?

Merci d'avance!