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Niveau première
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Fonction dérivable en 0.

Posté par maximelinux (invité) 24-07-07 à 20:03

Bonjour,
L'énoncé est le suivant:

Soit la fonction définie par | f(x)= (racine de 1+x)-1 / x   (si x différent de 0)
                             |
                             | f(0)= 1/2

F est-elle dérivable en 0 ?




J'ai esseyer avec f(0+h)-f(0)/h
Mais je tombe sur des résultats étranges ...


J'aimerais aussi confirmation d'un autre exercice:

f(x)= 8x³+27 / 4x²-9
Etudier les limites de f en 3/2 et en -3/2   (je trouve +oo  pour les deux).

Merci de votre aide

Posté par
mikayaoure : Fonction dérivable en 0. 24-07-07 à 20:09

bonjour maximelinux

Pour la seconde, distingue x<-3/2 et x>-3/2 ainsi que x<3/2 et x>3/2

Posté par
1 Schumi 1re : Fonction dérivable en 0. 24-07-07 à 20:11

Bonsoir,

Pour le premier, \rm\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{1}{2}.

Puisqu'en première on ne connaît pas la notion de continuit d'une fonction, je pense que ta fonction est effectivement dérivable. Travaille donc dans ce sens.


\mathfrak{Ayoub}.

Posté par
1 Schumi 1re : Fonction dérivable en 0. 24-07-07 à 20:12

Euh c'est:

\rm\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{1}{2}

Posté par maximelinux (invité)re : Fonction dérivable en 0. 24-07-07 à 20:25

1 Schumi 1:
C'est surment la réponse qu'il faut trouver mais pourrais-tu détailler ce calcul? je n'y parviens pas


pkiyaou> tu veux dire travailler sur les valeurs inférieurs et supérieures ?

Posté par
1 Schumi 1re : Fonction dérivable en 0. 24-07-07 à 20:26

Tu veux que je détaille quoi?

Posté par maximelinux (invité)re : Fonction dérivable en 0. 24-07-07 à 20:29

le calcul que tu fais pour prouver sa

Posté par
1 Schumi 1re : Fonction dérivable en 0. 24-07-07 à 20:30

Un nain dix : expression conjuguée.

Posté par maximelinux (invité)re : Fonction dérivable en 0. 24-07-07 à 20:31

oui c'est l'aide donée a la fin du livre mais je sais pas c'est quoi

Posté par
xunilre : Fonction dérivable en 0. 24-07-07 à 20:33

bonsoir,

1 Schumi 1 : justement comment fait on pour rédiger ca facon teminale ?

merci

Posté par
1 Schumi 1re : Fonction dérivable en 0. 24-07-07 à 20:35

xunil >> J'ai jamais dit que c'était suffisant . J'ai juste dit qu'il semblerait que la fonction soit bien dérivable. Faut le prouver avec le taux de variation après.

Posté par
1 Schumi 1re : Fonction dérivable en 0. 24-07-07 à 20:38

Alors vite fait avant d'aller faire dodo:

\rm\frac{sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\times \frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1}\\=\frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)}\\=\frac{1+x-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}\\=\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}

Je te laisse le soin de conclure.


\mathfrak{Ayoub}.

Posté par
xunilre : Fonction dérivable en 0. 24-07-07 à 20:38

on sait mal compris:

Citation :

Puisqu'en première on ne connaît pas la notion de continuit d'une fonction


supposons que se doit un exercice de terminale comment faut il le résoudre (tu parles de continuité....)



merci

Posté par
1 Schumi 1re : Fonction dérivable en 0. 24-07-07 à 20:39

Avec le taux de variation bien sûr. Mais j'y ai pas encore réfléchi.

Posté par
xunilre : Fonction dérivable en 0. 24-07-07 à 20:44

et benh c'est la méthode que tu as fait :

on doit juste calculer : \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)-\frac{1}{2}}{x} et prouver que la limite est finie ?

Posté par
xunilre : Fonction dérivable en 0. 24-07-07 à 20:45

c'est quand x tend vers 0 ....

Posté par
xunilre : Fonction dérivable en 0. 24-07-07 à 20:50

et si on vet prouver que la fonction est continue en 0 on calcule:

\lim_{x\to\0}f(0) mais ca doit etre égale à quoi ?

par ce que si c'est égale à 1/2 ce n'est pas continue... (d'après mon graphqiue) ?

merci de bien vouloir m'éclairer

Posté par
xunilre : Fonction dérivable en 0. 24-07-07 à 20:53

j'ai oublier le latex...  \lim_{x\to\0}f(0)


excusez moi si je pollue le topic ....

j'y vais a demain

Posté par maximelinux (invité)re : Fonction dérivable en 0. 24-07-07 à 21:09

oké merci 1 shumi 1.
Je pense que je pourrais me débrouiller pour la suite de l'exo.

En passant on peut m'expliquer comment vous mettez les formules comme sa ? latex ?
On peut sur msn ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonction dérivable en 0. 24-07-07 à 22:16

Bonsoir,

Pour le \LaTeX, clique sur le symbole 4$\sum en haut et à droite de ton écran

Posté par dellys (invité)re : Fonction dérivable en 0. 24-07-07 à 22:49

Salut à tous !


Voilà le lien direct --> [lien] "clique sur la maison c'est le lien"

Posté par maximelinux (invité)re : Fonction dérivable en 0. 25-07-07 à 19:26

Merci pour vos réponses.
J'aimerais que l'on revienne au deuxième exercice svp.
J'ai pas bien compris se que je devais faire

Posté par
1 Schumi 1re : Fonction dérivable en 0. 25-07-07 à 19:52

Commence par nous montrer ce que tuas déjà fait.

Posté par maximelinux (invité)re : Fonction dérivable en 0. 25-07-07 à 20:54

limite du numérateur quand x tends vers 3/2 = 54
Limite du dénominateur quand x tends vers 3/2 = 0

Donc f(x) tends vers l'infini

Posté par maximelinux (invité)re : Fonction dérivable en 0. 26-07-07 à 17:45

Vous en pensez quoi ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonction dérivable en 0. 26-07-07 à 18:03

Bonjour,

L' infini, oui mais \pm\infty suivant que x \to \frac{3}{2}^- ou x \to \frac{3}{2}^+; il faut séparer les deux cas.

Posté par maximelinux (invité)re : Fonction dérivable en 0. 26-07-07 à 18:37

Dans ce que j'ai ecrit j'ai pas fait en -3/2 car je ne sais pas comment faire :s

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonction dérivable en 0. 26-07-07 à 18:43

Re,

Il y a des factorisations possibles au numérateur de la forme somme de 2 cubes et au dénominateur:

3$f(x) = \frac{8x^3+27}{4x^2-9}=\frac{(2x+3)(4x^2-6x+9)}{(2x+3)(2x-3=}=\frac{4x^2-6x+9}{2x-3} pour 3$x\not=-\frac{3}{2}

Tu peux maintenant calculer la limite en 3$-\frac{3}{2}

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonction dérivable en 0. 26-07-07 à 18:47

Il faut encore séparer les cas suivant que 3$x \to -\frac{3}{2} par valeur inférieure ou supérieure...

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonction dérivable en 0. 26-07-07 à 18:47

Oops! oublie le post de 18h47

Posté par maximelinux (invité)re : Fonction dérivable en 0. 26-07-07 à 19:00

Bon je fais comment moi :p

Posté par maximelinux (invité)re : Fonction dérivable en 0. 26-07-07 à 19:00

ah mince j'avais pas vu ta réponse :p
Vraiment dommage que l'on peut pas éditer ses messages ici

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonction dérivable en 0. 26-07-07 à 19:09

>> Maximelinux

Une règle: tu as affaire ici quand x\to a à une forme indéterminée \frac{0}{0} . S' il s' agit de polynômes et de fractions rationnelles, il faut penser aux factorisations par x-a pour lever l' indétermination.

Posté par
1 Schumi 1re : Fonction dérivable en 0. 26-07-07 à 19:11

Pour x=3/2 c'est une simple histoire de prolonement par continuité.

Posté par
1 Schumi 1re : Fonction dérivable en 0. 26-07-07 à 19:11

Euh, x=-3/2 pardon.

Posté par maximelinux (invité)re : Fonction dérivable en 0. 26-07-07 à 19:11

il faut pas mettre le plus haut degré en facteur normalement ?

Je me souviens pas d'avoir apris a mettre x-a en facteur.





Autrement l'équation de la tangeante au point d'absice 0 de f(x) = (4x+3)/(x²-1),  f'(x)= (-4x²-6x+4)/(x²+1)²

Tu trouves combient stp ?
Je trouve y= 4x-13  mais elle passe pas par 0 :s

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonction dérivable en 0. 26-07-07 à 19:22

Re,

Pour les limites, tu mets les termes de plus haut degré en facteur quand tu calcules une limite au voisinage de l' 3$\infty

Pour la tangente au point d' abscisse 0, j' ai plutôt: 3$y=-4x-3.

Pourquoi voudrait-tu qu' elle passe par l' origine?

- il faut qu' elle passe par le point de la courbe d' abscisse considérée: a soit par le point M_0(a,f(a))

- il faut que son coefficient directeur soit f'(a)

L' équation de droite: y=f'(a)(x-a)+f(a) répond aux 2 conditions mais son ordonnée à l' origine n' est pas nulle en général.

Posté par maximelinux (invité)re : Fonction dérivable en 0. 26-07-07 à 19:25

oui enfin elle devrais passer par l'orignie vu qu'on demande en absice=0

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonction dérivable en 0. 26-07-07 à 19:25

voudrais-tu...

Posté par maximelinux (invité)re : Fonction dérivable en 0. 26-07-07 à 19:26

Pourrais-tu détailler ton calcul stp ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonction dérivable en 0. 26-07-07 à 19:26

Citation :
oui enfin elle devrais passer par l'orignie vu qu'on demande en absice=0


Non! le point d' abscisse 0 de la courbe n' est pas l' origine! Quelles sont ses coordonnées au fait?

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonction dérivable en 0. 26-07-07 à 19:28

Une minute,je reprends le calcul de la dérivée et la suite...

Posté par maximelinux (invité)re : Fonction dérivable en 0. 26-07-07 à 19:32

oooups vraiment désolé  fx= (4x+3)/(x²+1) (pas moin)
0;3

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonction dérivable en 0. 26-07-07 à 19:34

3$f'(x)=\frac{4(x^2-1)-2x(4x+3)}{(x^2-1)^2}=\frac{-4x^2-6x-4}{(x^2-1)^2}=-2\frac{2x^2+3x+2}{(x^2-1)^2}

On a donc 3$f'(0)=-4. De plus, 3$f(0)=-3

L' équation de la tangente à 3$C_f au point d' abscisse 0 est de la forme : 3$y=f'(0)(x-0)+f(0)

qui donne: 3$y=-4x-3

Posté par maximelinux (invité)re : Fonction dérivable en 0. 26-07-07 à 19:34

relit mon dernier poste je me suis trompé dsl :s

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonction dérivable en 0. 26-07-07 à 19:38

Avec 3$f(x)=\frac{4x+3}{x^2+1}, l' équation de la tangente au point d' abscisse 0 est:

3$y=4x+3

Pour t' en convaincre, calcule f'(0) et f(0)

Posté par maximelinux (invité)re : Fonction dérivable en 0. 26-07-07 à 19:45

oui la je suis d'accord avec ton résultat (avec la calculette)
C'est bon, j'avais fait un tite erreur de calcul
Merci

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonction dérivable en 0. 26-07-07 à 19:45

Posté par Jejedu92 (invité)re : Fonction dérivable en 0. 13-08-07 à 01:04

bonjour a tous, pour en revenir a \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-1/2}{x}


Ainsi je voudrais savoir si vous pouviez m'expliquer comment on fait ce calcul s'il vous plait car la serieusement , je bloque...

Merci beaucoup d'avance
Jerome

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction dérivable en 0. 13-08-07 à 05:20

Bonjour,

La fonction est-elle continue en 0 ?

Pour repondre, on regarde si, oui ou non, \lim_{x\to 0}f(x)=f(0)

La limite en question est une forme indeterminee 0/0.
Comme on a des racines, on tente la methode de la quantite conjuguee :
f(x)=\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}\to\frac{1}{2} quand x\to 0

La fonction est donc continue en 0.

(La suite arrive... derivabilite... )

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