Pas d'idée ?

Bonsoir, j'ai quelques idées (en espérant ne pas faire trop d'erreurs car un peu rouillé sur ce genre de questions)

Comme phi est C1, considérons son DL d'ordre 1 en tout réel x
phi(x+y)=phi(x)+y phi'(x)+y eps(y) avec limite de eps(y)=0 quand y tend vers 0

Ensuite tu calcules l'intégrale sur [a,b] de phi(f(t)+h(t)) qui grâce au DL précédent va s'écrire :
intégrale de phi(f(t)) + intégrale de h(t) phi'(f(t)) + intégrale de h(t) eps(h(t))

Les 2 premières intégrales sont bonnes, reste à prouver que la dernière intégrale tend vers 0 quand on la divise par la norme de h
C'est là que j'ai un doute : quelle est la norme définie sur E, je me suis dit que c'était la norme sup sur [a,b] dans ce cas là je te donne la suite de la démonstration, mais sinon il faut tout revoir :

Reprenons donc I=intégrale de h(t) eps(h(t)) :
Abs(I)<intégrale de abs(h(t))abs(eps(h(t))<norme de h * intégrale de abs(eps(h(t))
Je me dis qu'ensuite il doit avoir moyen de prouver que cette dernière intégrale tend vers 0 quand h tend vers 0, ça te donne une piste de réflexion...

On oublie souvent de remarquer qu'il existe : [a , b] continue telle que (0) = 0 et phi(x+y)=phi(x)+y phi'(x)+y eps(y)

Alors on peut parler de  intégrale de h(t) eps(h(t))  

Merci pour cette précision, c'était en effet un oubli de ma part

bonjour
lapsus > numerique!
est differentiable donc

remarque que
;d'où
                                  

lire bien sur F'(f)....

est dérivable donc : pour tout (x,y) de ² on a :(x + y) - (x) - y. '(y) = y.(x,y) où (x,.) est continue et  (x,o) = 0 .

Si f et g sont dans E et t [a , b] on a donc :  (f(t) + g(t)) - (f(t)) - g(t). '(g(t)) = g(t).(f(t),g(t)) .
Pour pouvoir couper les intégrales il faudrait  que t (f(t),g(t)) soit assez bonne ,par exemple qu'elle soit continue ; mesurable bornée suffirait .
Est-ce si évident que cela pour que l'utilisation des o soit valable ?
est séparément continue mais il s'agit de o (f,g)
De plus , formellement , la démontration de rhomari n'utilise pas la continuité de ' .C'est pour ça que je propose la démonstration suivante :

est C1 donc : pour tout (x,y) de  ² on a :(x + y) - (x) - y. '(y) = ₀^y ( '(x+u) - '(x))du .
Soit alors K un intervalle compact de et soit , pour tout r 0 , w_K(r) = Sup{ | '(u) - '(v)| (u,v) K² et |u-v| r } .  w_K(r)  est un réel 0 . De plus il est clair que w_k est croissant .
Pour tout (x,y) de  K² on a : |(x + y) - (x) - y. '(y) | |y|.w_K(|y|)
La restriction de ' à K étant continue est uniformément continue , donc w_K(r) 0 (qd r 0) .

Soit alors f E . Posons A = Inf(f) et B = sup(f) . Ce sont des réels et K = [A-1 , B+1] est un intervalle compact. On posera w = w_K .

Soit h E telle que N(h) = Sup(|h|) 1 .
Pour tout t [a , b] on  a : |(f(t)+h(t)) - (f(t)) - h(t). '(f(t))|  |h(t)|.w(|h(t)|) N(h).w(N(h)) .
On intége et on obtient : |F(f + h) - F(f) - L(h)| (b - a) N(h).w(N(h)) si on pose L(h) = _a^b h.( ' o f) .
L est une application linéaire continue de E dans et |F(f + h) - F(f) - L(h)| = o(N(h)) montre que F est dérivable au point f et que F '(f) = L .