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Fonction exponentielle
La but du problème est l étude de al fonction f définie pour tout réel x par :
f(x) = x(e(-x) + 1)
On désigne par (C) la courbe représentant f dans un repére orthonormal (O i J) du plan (unité graphique : 2cm)
Parie A :
Soit la fonction g définie pour tout réel x par g(x) = e(-x) x (1-x)+1.
1. Etuider les variations de g puis dresser son tableau de variation(on ne demande pas les limites).
2. En déduire le signe de g(x) pour tout réel x.
Partie B :
1. On rappelle que lim xe(x) = 0 quand x tend vers -infini.
déterminer en les justifiant les limites de f en -infini et +infini.
2. Soit (D) la droite d'équation y=x.
Démonter que (D) est asymptote oblique à (C) en +infini.
Etudier les positions de (C) par rapport à (D).
3. Si f' désigne la fonction dérivée de f calculer f'(x).
A l aide de la question A2 déterminer les variations de f puis dresser son tableau de variation.
4. Déterminer une équation de al tangente (T0) à (C) au point d'abscisse 0.
5. Déterminer par le calcul les coordonées du point de (C) ou la tangente (T1) est parallèle à l'asymptote (D).
Merci de me donner votre aide pour la partie B !
J'ai su faire al partie A !
J'atends vos réponses !
bonjour
1) soit X = -x
lim(X) = -
x
+
lim(xe-x) = lim -XeX
x+ X-
or la limite en -infini de xe[sup]x (ou XeX) est 0
donc ici ce sera -0 soit 0
meme raisonement avec le changement de variable pour +infini
2) il faut faire lim(f(x)-x) en +infini (et trouver 0)
et pour les positions, etudie leur difference
bon voila, pour le reste tu as deja calculé la dérivée? puis quel est le signe de g(x)? car je ne l'ai pas fait
Je n'ai pas compris tes réponses pour les limites de la qst 1 .
oui j'ai calculé la dérivée !
en fait il faut faire un changement de variable, de maniere a ne plus avoir la forme indeterminée
en mettant x=-X (ce sont des grand et petit x c'est vrai que c pas evident de les reconaitre)
on tombe sur f(x) = - XeX et tu retrouve la formule xex en -infini est egale a 0
je n'ai ecri que ca car c'était la difficulté je pense,
sinon on a f(x)= x(e-x + 1) = xe-x + x
avec changement de variable: f(x) = -XeX -X
quand x tend vers + , X(grand X) tend vers -
donc la limite de xe-x + revient a la limite de -XeX -X quand X tend vers -
soit ici + car XeX tend vers 0 en -
peux tu ecrire la derivée et le signe de g stp
argh les infinis bug :p
je réecri les phrses:
avec changement de variable: f(x) = -XeX - X
quand x tend vers +infini, X tend vers -infini
donc la limite de xe-x en +infini revient a la limite de -XeX - X quand X tend vers -infini
vu que lim XeX en -infini = 0 , lim f(x) = +infini quand x(petit) tend vers +infini
ok, donc c'est compri pour le 1) ?
sinon ici, ton f'(x) donne: f'(x)= e(-x)(1-x) +1 en simplifiant, soit g(x)
donc d'apres ton signe trouvé de g(x), tu en deduis les variations de f(x)
la tengente:
on a la formule y = f'(a)(x-a) + f(a) (ou f a la place de f' je sais plus, mais on va voir)
donc ici a=0 , tu remplace les données et trouve l'équation
Je vais poster un bilan de l'exercice complet dans 10 min !
ok ^^
par contre la 5) je sais pas trop :S
il faudrait trouver:
y= f'(a)(x-a)+f(a) = x + k pour avoir le meme coeff directeur mais bon...
je ne sais pas si on a le droit de dire qu'il faut que f(a)=1 pour avoir 1 en coeffiscient
Ne t'en fais pas pour la 5 .
Je vais avoir besoin de ton aide pour les signes et les variations : c'est ma grosse faiblesse en maths .
Voici le bilan de l'exercice :
Parie A :
Soit la fonction g définie pour tout réel x par g(x) = e(-x) x (1-x)+1.
1. Etudier les variations de g puis dresser son tableau de variation(on ne demande pas les limites).
Je trouve g'(x) = -2e(-x) + xe(-x)
Je ne vois pas le lien zvec les variations. C'est mon point faible en maths.
2. En déduire le signe de g(x) pour tout réel x.
La aussi je ne sais absolument pas comment faire.
Je redoute ce type de question.
J'aimerai qu'on m'explique !
pour la 1) c'est par rapport au signe de la derivée, quand la derivée est negative, sa fonction est decroissante et inversement
donc etudie le signe de g'(x)-2e(-x) + xe(-x)
pense a factoriser, ca debloque souvent: g'(x) = e(-x)(-2+x)
on sait que e(-x) est toujours positif
donc le signe de g'(x) s'étudie avec -2+x
essai de trouver le signe de g'(x) alor
voila le tableau de variations: (voir en bas)
donc une fois ces variations obtenues, on remarque un minimum en 2
si tu calcule g(2) , tu remarquera que ce dernier est positif, et que, vu que c'est le minimum, g(x) est donc toujours positive
ok merci ; Il va falloir que je m'entraine pour le bac sur ce type de questions !
Partie B :
3. Si f' désigne la fonction dérivée de f calculer f'(x).
A l aide de la question A2 déterminer les variations de f puis dresser son tableau de variation.
f'(x)= e(-x)(1-x) +1 soit g(x)
Donc si j'ai bien compris f'(x) a les memes variations que g(x).
Or nous on veut g(x).
Comment faire ?
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