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Fonction exponentielle

Posté par
wolvi01 22-12-08 à 21:38

bonjour à tous,
j'ai un exercice qui consiste à démontrer l'existence de la fonction exponentielle.

on définie expn(x)=(1+x/n)^(n)

Dans un premier temps j'ai montré que pour tout A ∈ [0,1[ et pour tout n ∈ N*
on a                     (1-A)^(n)≥1-An

maintenant on me donne A=(x/n)/(n-1+x)

je dois montrer que expn(x)≥exp(n-1)(x) je ne vois pas trop comment parvenir au résultat. Lorsque je remplace A par sa valeur je trouve des "morceaux de l'expression expn(x) mais e n'aboutis pas.
Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider.

Merci d'avance pour vos réponses

Posté par
wolvi01re : Fonction exponentielle 22-12-08 à 22:20

personne n'aurait une idée pour aboutir à l'expression donnée?

Posté par
wolvi01re : Fonction exponentielle 23-12-08 à 09:22

personne pour un coup de main?

Posté par
Thibsre : Fonction exponentielle 23-12-08 à 11:16

Tu peux étudier la fonction:
[1,+\infty ]->\mathbb{R}
x -> (1+\frac{a}{x})^x=exp(xln(1+\frac{a}{x})
Il faut que tu prouves que cette fonction est croissante.

Posté par
wolvi01re : Fonction exponentielle 23-12-08 à 11:53

Merci pour ton aide tu pourrait m'expliquer comment est tu parvenus à cette fonction et comment vais-je rattacher cette étude à la première question?

Posté par
Thibsre : Fonction exponentielle 23-12-08 à 12:25

j'avoue n'avoir que lu "je dois montrer que expn(x)≥exp(n-1)(x)".
Sinon en étudiant la fonction sur R et pas sur N tu peux dériver et c'est ça l'avantage...

Posté par
wolvi01re : Fonction exponentielle 23-12-08 à 12:42

Donc retour à la case départ,
quand je remplace A dans l'expression j'ai un terme qui ressemble à l'inverse de expx sans la puissance mais e ne vois pas  m'en sortir

Posté par
Thibsre : Fonction exponentielle 23-12-08 à 13:37

Je crois avoir trouvé. J'ai calculé le quotient Q=expn/exp(n-1).On veut Q>1. Un peu de transformation donne:
Q=(1+\frac{x}{n})(\frac{1+\frac{x}{n}}{1+\frac{x}{n-1}})^{n-1}=(1+\frac{x}{n})(\frac{(n-1)(n+x)}{n(n+x-1)})^{n-1}=(1+\frac{x}{n})(\frac{n(n+x-1)-x}{n(n+x-1)})^{n-1}=(1+\frac{x}{n})(1-A)^{n-1}
En utilisant la propriété (1-A)^n\ge1-An, A\in[0,1[
Q\ge(1-(n-1)A)(1+\frac{x}{n})=(1-(n-1)A)(1+A(x+n-1))=1+Ax-A(n-1)*x/n=1+Ax(1-\frac{n-1}{n})\ge1
Un peu lourd mais je crois que ça passe...

Posté par
wolvi01re : Fonction exponentielle 23-12-08 à 15:35

merci beaucoup pour ton aide et ta patience.


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