Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Fonction exponentielle (inégalité)
Bonjour,
Voici un exercice que je n'arrive pas à résoudre:
Pour n
1, on définit sur I=[0;1] la fonction f par:
f(x)=-e-x(1+ x/1! + x²/2! + ... + xn/n!),
avec n!= 1
2...(n-1)n
a.Calculer f'(x)[f'(x)= e^-x(x^n/n!)]
b.Montrer que 0<f'(x)< 1/n![Trouvé]
c.En déduire que f(1)>f(0)[Trouvé]
d.En utilisant les variations de la fonction g définie sur I par g(x)= f(x)- x/n!, montrer que f(1)<f(0)+ 1/n!.
e.En notant Vn= 1 + 1/1! + 1/2! +...+ 1/n!, en déduire que:
e(1 - 1/n!)<Vn<e.
Montrer alors que 0<e-Vn<e.
f.Déterminer n0 tel que, pour n>n0, e -Vn<10-4
A partir du d. je n'y arrive pas, une aide serait la bienvenue. Merci d'avance.
Bonjour qu'est ce qui te bloques à la d)?
Utilises les variations de g comme on te le demande(dérive g pour cela puis utilises la b)).
Oui, mais ma dérivée de g est:
e-x(xn/n!) - (n!-x(2n-1))/(n!²)
Je crois que j'ai du faire une erreur quelque part non ?
g est definie par g(x)=f(x)-x/n! or tu as deja calculer f'(x)(il ne faut pas tout recalculer).
Donc g'(x)=f'(x)-1/n! je pense que la tu dois mieux voir a quoi ca va te servir.
Ok merci beaucoup.
Par contre pour étudier les variations de la fonction, comment je peux faire ?
On sait que f(x) est croissante (voir question c) mais on ne connait pas les variations de f'(x), donc comment faire pour détermier celles de g'(x) ?
Désolé d'abuser de votre aide, mais j'aimerais bien comprendre cet exercice, facile d'après ma prof de maths, mais assez dure pour moi; j'aimerais tout au moins réussir la question d, c'est les variations qui me gène le reste je crois que çà devrait aller.
Tu as g'(x)=f'(x)-1/n! or tu as montre a la b) que f'(x)<1/n! donc donc tu en deduis que g'(x)<0 c'est a dire g decroissante.
En particulier g(1)<g(0) d'ou tu en tires l'inegalite.
Merci bcp.
J'ai presque fini l'exercice. Il me manque la dernière question:
f.Déterminer n0 tel que, pour n>n0, et -Vn<10-4
Une aide serait la bienvenue. Merci d'avance.
Salut,
dans ton inegalite à la e) c'est pas plutot 0<e-Vn<e/n! donc il faut trouver n tel que e/n!<10-4 c'est a dire n!/e>10 000.
Non c'est bien:
0< e- Vn < 3/n!
mais je ne comprends pas, on me demande de déterminer n0 tel que, pour n>n0 , e -Vn < 10^-4.
Donc il faut n tel que 3/n!<10^-4
soit n!<30000 non ?
Annuler
connectez vous