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Fonction Gamma et intégrales de Wallis

Posté par
Thibs 26-08-09 à 17:05

Bonjour,
En regardant un topic récent sur la fonction gamma, j'ai recherché quelques trucs sur le web; j'ai trouvé cet exercice mais je ne sais pas comment faire - il s'agit d'exprimer l'intégrale de Wallis en fonction de la fonction gamma et de n:
I_n=\Bigint_0^{\frac{\Pi}{2}} sin^nt dt
\Gamma(s)=\Bigint_0^{+\infty}t^{s-1}e^{-t}dt
Il est suggéré de faire un changement de variable sin t = ... J'ai pensé aux tangeantes sin(t) = \frac{2u}{1+u^2} avec u=tan(\frac{t}{2}) mais je bloque. Je tombe sur l'intégrale suivante:
I_n=2\Bigint_0^1\frac{(2u)^n}{(1+u^2)^{n+1}}
Donc voila, je ne sais pas comment avancer... Merci pour votre aide.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Fonction Gamma et intégrales de Wallis 26-08-09 à 17:13

Bonjour

La fonction Gamma est en fait une "extension" de la factorielle.

On a pour tout entier n 3$\Gamma (n)=(n+1)!.

Je sais pas vraiment où l'exercice veut en venir, mais on les expressions classiques de I_{2n} et I_{2n+1} à l'aide de factorielles et donc à l'aide de la fonction Gamma ...

Posté par
raymond Correcteurre : Fonction Gamma et intégrales de Wallis 26-08-09 à 17:15

Bonjour.

Regarde :

Posté par
Thibsre : Fonction Gamma et intégrales de Wallis 26-08-09 à 17:28


Oui en effet les expressions des intégrales de Wallis ont des factorielles donc dans ce cas c'est evident pr remplacer les factorielles par des gammas... Je ne sais pas non plus ou l'exercice veut en venir. Voici le lien pour l'exo:
J'ai pensé pareil, je ne vois pas vraiment en quoi consiste l'exercice. Peut-être que l'on cherche en fait à exprimer les intégrales de Wallis en fonction de la fonction Beta: B(x,y)=\Bigint_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt, en faisant un changement de variable avec des consinus/sinus...

Posté par
raymond Correcteurre : Fonction Gamma et intégrales de Wallis 26-08-09 à 17:49

Le lien se fait au niveau des résultats grace à la présence de factorielles dans le cas de la fonction gamma portant sur des valeurs entières.


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