salut

vérifie que la fonction f(x,y)=x+y+y³ vérifie les hypothèses du théorème des fonctions implicites au point (0,0)

Bonsoir,

Pour 1), on ne te demande pas d'expliciter y = (x), mais seulement de prouver son existence.
Pour cela, il faut que tu fasses appel au théorème des fonctions implicites, que tu trouveras ici :
Pour reprendre les notations de l'article, tu as
F(x,y) = y³+x+y
La dérivée partielle par rapport à y est :
F/y (x,y) = 3y²+1
Et sa valeur en (0,0) est F/y (0,0) = 1
Le théorème s'applique donc, et la fonction existe bien

Pour 2), utilise ³(x)+x+(x) = 0, fais x = 0 pour obtenir (0), dérive et fais x = 0 pour obtenir '(0), etc

Pour 3), utilise 2) et la formule de Taylor

en particulier (0)=0

et pour les dérivées de dérive f(x,(x)) comme une fonction composée pour la deuxième variable

Bonsoir carpediem

Autre méthode sans faire appel au théorème des fonctions implicites, on considère l'équation :
y³ + y + x = 0
Considérée comme une équation d'inconnue y avec un paramètre x.
C'est alors une équation de degré 3 en y  sous la forme canonique :
y³ + py +q = 0
avec p = 1 et q = x
On trouvera la discussion théorique ici (méthode de Cardan) :
Le discriminant vaut p³ + (27/4)q² = 1 + (27/4)x²
En (0,0), le discriminant vaut 1, il est donc > 0, donc il reste > 0 dans un voisinage de (0,0)
On est donc dans le cas :
1 racine réelle plus 2 racines complexes
L'important c'est qu'il n'y ait qu'une seule racine réelle, ce qui garantit l'unicité de la solution, et donc l'existence de la fonction y = (x) au voisinage de (0,0)

Ah d'accord, je vous remercie.

Mais juste par curiosité, il existe un moyen pour déterminer cette fonction implicite?

Dans ce cas-ci, oui, la solution réelle de l'équation du 3ème degré par les formules de Cardan (voir le lien de mon post de 00h22) te donne précisément la solution y(x).

En fait, je n'avais pas vu (il était tard...) que le discriminant est 1+(27/4)x² est toujours > 0, donc cette solution semble valide non seulement dans un voisinage de (0,0) mais en fait pour tout x.

On peut d'ailleurs rapprocher cela du critère d'existence par le théorème des fonctions implicites : la dérivée partielle de F(x,y) est 1+3y², également toujours 0

D'ailleurs, si on considère la fonction réciproque de la fonction , cette fonction est tout-à-fait explicite, et on peut en tirer un maximum d'information sur :
y³+x+y = 0
donc
x = -(y³+y)
On a donc :
(y) = -(y³+y)
On a '(y) = -(y²+1) < 0, donc est strictement décroissante pour tout y. Elle est donc bijective de sur , et on peut donc en dire autant de (x).

En fait, tu peux même te servir de ce dernier point comme démonstration de l'existence de !
Te voila donc avec un choix de 3 démonstrations :
- le théorème des fonctions implicites
- les formules de Cardan
- l'étude de la fonction réciproque de
Elle est pas belle, la vie ?

salut LeHibou

très beau développement, j'avais aussi considéré cette relation comme une équation d'inconnue x avec une dérivée qui ne s'annule jamais mais il était tard et je ne l'avais pas interpréter comme fonction réciproque et surtout qu'on avait une solution sur R

bel effort

Merci carpediem, venant de toi ce compliment me fait grand plaisir !

Bonjour,

en plus des 3 méthodes que LeHobou vient de résumer, ajoutons en une quatrième :
x = -y -y^3
On a donc défini une fonction x(y).
y(x) est la fonction réciproque de x(y).
Supposant connues les propriétés des fonctions réciproques, en particulier de leurs dérivations, il est possible de répondre à toutes les questions posées.
Mais cela ne serait pas plus simple, bien au contraire dans ce cas de cette fonction ! Alors inutile d'en dire plus...
Sauf qu'il faut y songer : dans d'autres cas cela peut simplifier les développements.

Je salue cordialement LeHibou à cette occasion,
et m'excuse d'avoir estropié son nom par une malencontreuse faute de frappe !

c'était implicite en considérant

Salut JJa, est-ce que tu me permets une petite question ? En quoi la fonction réciproque x(y) que tu introduis comme quatrième méthode est-elle différente de la fonction (y) que j'avais introduit un peu plus tôt comme troisième méthode ?

En revanche, je retiens l'idée d'utiliser les dérivées de la fonction réciproque pour calculer les dérivées de la fonction directe, ça c'est un bon plan !

Oui, dans le fond, ça revient au même. C'est surtout une question de présentation globale: on se réfère aux propriétés des fonctions réciproques ce qui justifie, sans plus, l'application des méthodes qui leurs sont relatives (entre autres pour les dérivations : c'est en effet surtout à cela que je pensais).  

On est donc bien d'accord...
Bonne soirée à tous !