Oui. Prendre la fonction . On a où désigne la mesure de Lebesgue.

Salut

Cela dépend du type de discontinuité. Ici, on en a qu'un nombre fini, donc pas de soucis on peut intégrer, ça ne change rien.

Oui, tu as raison. La fonction partie entière est un exemple de fonctions intégrable mais non continue. Et ta formule est juste.

La plupart du temps, les fonctions que l'on intègre sont continues par morceaux ; ce qui signifie qu'il existe un nombre fini de points de discontinuité pour ta fonction. Toutes les fonctions de ce type sont intégrables. Cependant, il existe des fonctions intégrables beaucoup plus compliquées.

Pour utiliser la formule :

il n'est pas nécessaire d'avoir la continuité de f, je te renvoie à l'article de wikipedia sur le théorème fondamental de l'analyse .

une primitive F(x) de E(x) est donnée par la fonction continue, affine par morceaux, de pente n sur l'intervalle [n;n+1]. Cependant, il faut faire attention que la dérivée de F(x) n'est pas définie aux points entiers...

Par ailleurs, la fonction partie entière est un exemple de fonctions constante par morceaux. Ces dernières permettent de définir ce qu'est une fonction intégrable. Je te renvoie également à l'article de wikipedia pour plus d'informations .

ok en fait si jai bien compris on a :

f continue sur [a , b] et F une primitive de f sur [a , b] f(t) dt = F(b) - F(a)

par contre f(t) dt = F(b) - F(a) avec F primitive de f en a et en b n'implique pas f continue sur [a , b]..

on a pas l'equivalence comme je lai dit dans mon premier topic... c juste?

Bien sûr, une fonction peut admettre des primitives sans être continue ! Par contre, elle est continue presque partout.

ok merci beaucoup

Salut,
cette question est très pertinente, en fait la réponse générale est relativement compliquée mais comme toujours l'intervention de tringlarido est très bonne et doit répondre à tes attentes.
Rudin consacre presqu'un chapitre entier (le 7e) dans son Real and Complex Analysis à ce sujet avec plusieurs contre exemple pertinents et parfois contre intuitifs. Il faut faire attention à ce que l'on raconte dans ce sujet si bien que je ne me souviens jamais vraiment par coeur les hypothèses qui permettent d'affirmer que f est l'intégrale de sa dérivée.

Pour répondre d'une façon un peu moins rigoureuse, si tu entends par "intégrable" le fait d'avoir une intégrale sur un ensemble de la forme [a,b], finie ou infinie, sache que toutes les fonctions positives auxquelles tu vas penser font fonctionner. Il est très difficile d'exhiber une fonction qui ne sera pas intégrable.