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Fonction irrationnelle - - ->limites, asymptotes obliques...
Voilà bonjour, je suis un peu beaucoup perdue dans cet exo surtout pour les questions 1, 4 et 5. Mercii de bien vouloirr m'éclairer 
.
f est la fonction définie sur 
par f(x)= 
1+x2.
C est sa courbe représentative dans un repère orthonormal R(O,
,
).
1.démontrez que C a un axe de symétrie.
2.étudiez les limites de f en +
et en -.
3.vérifiez que pour tout réel x, f(x)-x = 1/x+1+x2.
déduisez-en que C a une asymptote oblique d en +.
précisez la position de C par rapport à d.
4.C' est la représentation graphique de la fonction g définie sur par g(x) = -f(x).
H est la réunion des courbes C et C'.
vérifiez que H a pour équation dans R: y2-x2=1.
5.on considère un nouveau repère R(O,
,
) avec:
=(2) / 2 (+) et =(2) / 2 (-+).
un point M de coordonées (x;y) dans R a pour coordonnées (X;Y) dans R'.
exprimez x et y en fonction de X et Y. donnez une équation de H dans R'.
tracez H dans R'
1)
f(x) = f(-x)
f est paire et donc l'axe des ordonnées est un axe de symétrie de C
-----
2)
lim(x-> -oo) f(x) = +oo
lim(x-> +oo) f(x) = +oo
-----
3)
f(x) - x = V(1+x²) - x
lim(x-> +oo) [f(x) - x] = lim(x-> +oo) [V(1+x²) - x]
lim(x-> +oo) [f(x) - x] = lim(x-> +oo) [x-x]
lim(x-> +oo) [f(x) - x] = 0
--> la droite d'équayion y = x est asymptote oblique en +oo à C
f(x) - x = V(1+x²) - x > 0
C est au dessus de d
-----
4)
g(x) = -f(x)
y = -V(1+x²)
y² = 1 + x²
y²-x² = 1
...
-----
...
Sauf distraction.
xi + yj = Xu + Yv = (V2/2)( X(i+j) + Y(-i+j) ) = (V2/2)( (X-Y)i + (X+Y)j )
x = (V2/2)(X-Y)
y = (V2/2)(X+Y)
y² - x² = 1
( (V2/2)(X+Y) )² - ( (V2/2)(X-Y) )² = 1
(X+Y)² - (X-Y)² = 2
4XY = 2
Y = 1/(2X)
qui est, dans le nouveau repère (O,u,v), l'équation d'une hyperbole Y = (1/2)(1/X)
A noter que le nouveau repère (O,u,v) n'est autre que l'ancien repère (0,i,j) ayant subi une rotation d'angle +pi/4
A vérifier, bien sûr 
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