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fonction k-lipschitzienne et suite
Bonsoir à tous !
J'ai besoin de vous pour résoudre une petite question, la voici :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I fermé vérifiant pour k appartenant à [0;1[ :
Pour tout (x,y) de I², |f(x) - f(y)| =< k|x-y|
Montrer que quelle que soit la suite (a_n) à valeurs dans I et convergeant vers l la suite (f(a_n)) converge vers f(l).
Merci de votre aide, car là, je suis totalement bloqué...
Salut perroquet.
Je me suis dit douté de l'histoire de la continuité. Mais il y a deux problèmes qui se pose alors pour moi :
1- Je ne sais pas montrer qu'une fonction k-lipschitzienne est continue...
2- Je ne sais pas comment conclure que si (a_n) tend vers l alors (f(a_n)) tend vers f(l). A moins qu'il suffit de dire que f est continue et hop ?
Merci.
Pour le 2, il suffit de dire que f est continue et hop.
Pour tout epsilon >0 il existe delta = epsilon/k tel que ...
Les réponses à 1 et 2 se trouvent obligatoirement dans le cours.
Si on ne veut pas utiliser le cours, on peut aussi écrire que
|f(an)-f(l)| inférieur ou égal à k|an-l|
Et comme la limite de an-l vaut 0 ....
Bonjour,
Il n'y a pas besoin de continuité ici, tu peux proceder directement en utilisant la lipshitzianité (qui est beaucoup plus fort que la continuité).
Si (a_n) tends vers l alors |a_n-l| peut etre rendu aussi peutit que tu veux pour peur que n soit assez grand.
Comme |f(a_n)-f(l)|<|a_n-l|...
Cela dit le caractère lipschitzien implique la continuité...prouve le c'est facile et c'est un bon exo.
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