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Fonction : Limites

Posté par jeremy76 (invité) 07-10-06 à 15:11

Salut , j'ai un DM pour Lundi et j'aurais besoin d'aide.

f est la fonction définie sur par :

f(x) = x + |4x²-1| et C sa courbe représentative dans un repere.

1)Précisez les limites de f en + et en -.

=>Limite en +infini , j'ai trouvé +infini.
En -infini cela donne une forme indeterminé et avec la valeur absolu je n'arrive pas a lever cette indetermination.

2)a)Calculer lim (f(x)-3x) , quand x->+
b)Calculer lim (f(x)+x) , quand x -> -
=>Meme probleme.

3)a)Déduisez-en que C admet 2asymptotes obliques 1 et 2.
Donnez pour chacune une équation.

b)Etudiez la position de C par rapport a chacune de ses asymptotes obliques.

Posté par jeremy76 (invité)re : Fonction : Limites 07-10-06 à 16:13

?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction : Limites 07-10-06 à 16:17

Bonjour,

Si tu étudies la limite en +oo, tu peux supposer x > 1/2 et faire correctement sauter la valeur absolue.

Si tu étudies la limite en -oo, tu peux supposer x < -1/2 et faire correctement sauter la valeur absolue.

Posté par jeremy76 (invité)re : Fonction : Limites 07-10-06 à 16:25

Pour la question 2 ?
J'ai pas tres bien compris pourqupo prendre x > 1/2

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction : Limites 07-10-06 à 16:45

On peut le faire car on considère la limite en +oo, donc très à droite de 1.2
Cela permet de faire sauter la valeur absolue, non ?

Posté par jeremy76 (invité)re : Fonction : Limites 07-10-06 à 16:56

Je comprends pas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction : Limites 07-10-06 à 17:02

Attends un instant.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction : Limites 07-10-06 à 17:07

Limite de f en -oo
f(x)=x+\sqrt{|4x^2-1|}
On étudie la limite en -oo, donc on peut supposer \fbox{x\le -\frac{1}{2}}
Alors 4x^2-1\ge 0 donc |4x^2-1|=4x^2-1, et :
\begin{array}{rcl} \\ f(x) &=& x+\sqrt{|4x^2-1|}\\ \\ &=& x+\sqrt{4x^2-1}\\ \\ &=& x+|x|\sqrt{4-\frac{1}{x^2}}\\ \\ &=& x-x\sqrt{4-\frac{1}{x^2}}\\ \\ &=& x\left(1-\sqrt{4-\frac{1}{x^2}}\right)\to +\infty\\ \\ \end{array}

Posté par jeremy76 (invité)re : Fonction : Limites 07-10-06 à 17:24

Ah ok.
Donc pour etudier lim (f(x)-3x) en - et + infini je repars avec la derniere simplification de f(x) ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction : Limites 07-10-06 à 17:27

La forme simplifiée de f que j'ai présentée est valable en -oo.
Tu peux donc t'en servir pour lim en -oo de f(x)+x

En +oo, il faut faire un raisonnement similaire.
On suppose x > 1/2
Mais, alors, |x| = x, et non pas -x comme ci-dessus

Posté par jeremy76 (invité)re : Fonction : Limites 07-10-06 à 17:29

Ok je vais chercher sa.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction : Limites 07-10-06 à 17:30

Des indéterminations apparaissent. Pense à la quantité conjuguée.

Posté par jeremy76 (invité)re : Fonction : Limites 07-10-06 à 18:00

f(x)-3x = x(1+4-(1/x²) -3x
La limite de cela donne une fomme indeterminée.
Par contre je ne vois pas bien ou utilisé la quantité conjugué.Moi quand j'ai vu la quantité conjugué c'etait souvent des quotient or la c'est une addition donc je suis un peu perdu.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction : Limites 07-10-06 à 18:03

Factorise par x, qu'on y voit clair.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction : Limites 07-10-06 à 18:05

\begin{array}{rcl} \\ f(x)-3x &=& x\left(\sqrt{4-\frac{1}{x^2}}-2\right)\\ \\ &=& x\frac{\left(\sqrt{4-\frac{1}{x^2}}-2\right)\left(\sqrt{4-\frac{1}{x^2}}+2\right)}{\sqrt{4-\frac{1}{x^2}}+2} \\ \end{array}
Reconnais une identité remarquable au numérateur.
Continue.

Posté par jeremy76 (invité)re : Fonction : Limites 07-10-06 à 18:57

= 4 - 1/x² -4 = -1/x²

Donc la lim f(x)-3 = 0 , quand x-> + ?

Posté par jeremy76 (invité)re : Fonction : Limites 07-10-06 à 19:45

Tu peux me confirmer stp ?

Posté par jeremy76 (invité)re : Fonction : Limites 07-10-06 à 21:11

?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction : Limites 08-10-06 à 03:22

3$\begin{array}{rcl} \\ f(x)-3x &=& x\left(\sqrt{4-\frac{1}{x^2}}-2\right)\\ \\ &=& x\frac{\left(\sqrt{4-\frac{1}{x^2}}-2\right)\left(\sqrt{4-\frac{1}{x^2}}+2\right)}{\sqrt{4-\frac{1}{x^2}}+2}\\ \\ &=& x\frac{-\frac{1}{x^2}}{\sqrt{4-\frac{1}{x^2}}+2}\\ \\ &=& -\frac{1}{x\left(\sqrt{4-\frac{1}{x^2}}+2\right)}\;\to\; 0\\ \\ \end{array}

Posté par jeremy76 (invité)re : Fonction : Limites 08-10-06 à 12:51

Lol j'avais oublié le denominateur et le x devant :|

Posté par jeremy76 (invité)re : Fonction : Limites 08-10-06 à 12:57

Juste une question , c'etait f(x)-3x , pourquoi au debut de la factorisation de x sa donne : x(4-(1/x²) -2) ?
Pour c'est -2 et pas -3 ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction : Limites 08-10-06 à 13:08

Tu plaisantes, là ?

Que vaut f(x) ?
Que vaut f(x)-3x ?

Posté par jeremy76 (invité)re : Fonction : Limites 08-10-06 à 13:42

Ah non rien j'avais sauté une étape

Posté par jeremy76 (invité)re : Fonction : Limites 08-10-06 à 14:15

f(x)-x = 2/x²
lim 2/x² = 0 , quand x -> -

C'est juste ?

Posté par jeremy76 (invité)re : Fonction : Limites 08-10-06 à 14:16

f(x)-x = 1/2x² plutot.
La limite ne change pas.

Posté par jeremy76 (invité)re : Fonction : Limites 08-10-06 à 14:25

Si quelqu'un peut me confirmer svp car je vais pas continuer si ma reponse est fausse

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction : Limites 08-10-06 à 14:29

L'énoncé ne te demande pas de calculer f(x)-x

Posté par jeremy76 (invité)re : Fonction : Limites 08-10-06 à 14:47

Désolé erreur de recopiage.
C'est f(x)+x
Le resultat ne change pas car je l'avais bien fait pour f(x)+x

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction : Limites 08-10-06 à 14:51

OK.
Je n'ai pas le temps de vérifier que f(x)+x = 1/2x²
J'imagine que tu as appliqué la même méthode que pour l'autre.
La limite est 0. Cela, je peux te le confirmer.

Posté par jeremy76 (invité)re : Fonction : Limites 08-10-06 à 14:57

Ok j'espere donc que c'est bon.

3)a)Comme la lim f(x)-3x = 0 , x->+ , la courbe C admet une 1ere asymptote d'equation y = 3x
De meme , lim f(x)+x = 0 , x->- , la courbe C admet une 2eme asymptote d'equation y = -x

b)Je dois etudier le signe de f(x)-3x et de d(x)+x ?

A confirmer

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction : Limites 08-10-06 à 14:59

la courbe C admet en +oo une asymptote d'equation y = 3x
la courbe C admet en -oo une asymptote d'equation y = -x

b) Oui, tu le sais bien...

Posté par jeremy76 (invité)re : Fonction : Limites 08-10-06 à 15:17

3)b) f(x)-3x = 1/x(4-1/(x²) +2).

Df = *

D'ou Sur ]-;0[ , C est en dessous de 1.
Sur ]0;+[ , C est au dessus de 1

f(x)+x = 1/2x²
Df = *

Je sais pas si c'est possible mais je trouve que C est tout le temps au dessus de 2 sauf en 0 (valeur interdite).

Posté par jeremy76 (invité)re : Fonction : Limites 08-10-06 à 15:23

Apres relecture j'ai fait une erruer pour f(x)+x.
f(x)+x = -1/x(4-(1/x²) -2).

Je vais re-etudier la position de 2

Posté par jeremy76 (invité)re : Fonction : Limites 08-10-06 à 15:24

Pour 1 j'ai inversé. Sur ]-infii;0[ , C est au dessus de 1.
Et vis versa sur l'autre intervalle.

Posté par jeremy76 (invité)re : Fonction : Limites 08-10-06 à 15:27

Pour f(x)+x :

Sur ];0[ , C est au dessus de 2.
Sur ]0;+[ , C est en dessous de 2.

Désolé pour les erreurs , la normalement c'est bon

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction : Limites 08-10-06 à 15:32

Pourquoi écris-tu que Df = R*.
Df = R !
Mais, pour transformer l'écriture, on a supposé x non nul, ce qui n'était pas grave, puisqu'on travaillait en l'infini

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction : Limites 08-10-06 à 15:34

A mon avis, il faut étudier la position de la courbe et de l'asymptote en -oo... uniquement au voisinage de -oo

De même, il faut étudier la position de la courbe et de l'asymptote en +oo... uniquement au voisinage de +oo

Posté par jeremy76 (invité)re : Fonction : Limites 08-10-06 à 15:37

Ba j'ai mis R* car il a x(....) au dénominateur.
C'est faux ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction : Limites 08-10-06 à 15:47

La réponse a été donné à 15h32.

Posté par jeremy76 (invité)re : Fonction : Limites 08-10-06 à 15:50

Ok , donc pour moi je peux  mettre R*.

Merci de ton aide

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction : Limites 08-10-06 à 15:59

Non.
N'écris pas Df = R*
C'est faux.
Df = R.

Je t'en prie.

Posté par jeremy76 (invité)re : Fonction : Limites 08-10-06 à 16:14

Ba oui mais quelle valeur separe le moment ou C est au dessus de delta et ou C est en dessous ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction : Limites 08-10-06 à 16:18

Il ne faut pas raisonner ainsi.
Quand x > 1/2 :
f(x)-3x = -\frac{1}{x\left(\sqrt{4-\frac{1}{x^2}}+2\right)} \le 0
donc la courbe est en-dessous de son asymptote.

Posté par jeremy76 (invité)re : Fonction : Limites 08-10-06 à 16:21

Moi j'ai fait un tableau de signe.
Si je fait comme toi , quand x < 1/2
f(x)-3x 0
Donc C est au dessus de delta ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction : Limites 08-10-06 à 16:24

Mais en -oo on considère l'autre asymptote !

Posté par jeremy76 (invité)re : Fonction : Limites 08-10-06 à 16:37

Ah bon , quand j'etudiais la position d'une courbe par rapport a son asymptote je le fesais de - a +

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction : Limites 08-10-06 à 16:39

Ecoute :
* si vous avez l'habitude de le faire ainsi, fais-le
* "de mon temps", on ne prenais que l'asymptote correspondant au lieu où on regarde
Fais comme tu fais d'habitude.


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