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fonction lipschitzienne

Posté par
sami-dh 25-03-09 à 20:05

Salut à tous

Je veux bien une indication pour démontrer que la fonction réciproque d'une fonction lipschitzienne (bijective de IR vers IR) est aussi une fonction lipschitzienne


Merci beaucoup

A+

Posté par
Drysssre : fonction lipschitzienne 25-03-09 à 20:44

Je ne suis pas sur que ce résultat est vrai.
Regarde la fonction Arctan qui est lipschitzienne sur R.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : fonction lipschitzienne 25-03-09 à 21:06

C'est faux sami-dh comme l'a vu Drysss

Par exemple la fonction impaire 4$\fbox{f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}\\x\to\{{\ell n(1+x)\,\;x\ge0\\-\ell n(1-x)\;,\;x<0} est bien une bijection

et est lipschitzienne puisque de dérivée bornée 3$\fbox{x\to\frac{1}{1+|x|}}

mais sa bijection réciproque 4$\fbox{g : \mathbb{R}\to\mathbb{R}\\x\to\{{e^x-1\,\;x\ge0\\1-e^{-x}\;,\;x<0} ne l'est pas !

vu que le rapport \frac{g(x)}{x} n'est pas borné sauf erreur bien entendu

Posté par
sami-dhre : fonction lipschitzienne 26-03-09 à 02:33

Salut

Merci pour vos réponses ^^

Bon prenons la fonction f(x)=kx+sin(x) où k>1.
j'ai démontré qu'elle est bijective de IR vers IR.et je veux montrer que sa fonction inverse est lipschitzienne

Merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : fonction lipschitzienne 26-03-09 à 13:12

Tu as 3$\fbox{\forall x\in\mathbb{R}\;,\;f^'(x)=k+cosx\ge k-1>0\\\;\;\;\;\lim_{-\infty}f=-\infty\;,\;\lim_{+\infty}f=+\infty} donc f est un homéomorphisme croissant de \mathbb{R} dans \mathbb{R}

et comme 3$\fbox{\forall x\in\mathbb{R}\;,\;0<(f^{-1})^'(x)=\frac{1}{f^'(f^{-1}(x))}\le\frac{1}{k-1}} on voit que f^{-1} est lipschitzienne sauf erreur bien entendu

Posté par
sami-dhre : fonction lipschitzienne 26-03-09 à 20:20

Ah oui,c'est bien clair maintenant

Merci Bien Mr.Abd El Ali

A+


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