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fonction ln
bonjour,
jai un petit souci pour cet question pourriez vous m'aider sil vous plais, voici le sujet;
il faut etudier le signe de la dérivée suivante sachant que l'intervalle considérée est ]0; +[.
f(x) = 1/x + lnx/x
d'ou j'ai trouvé que f'(x) = - lnx/x²
donc f'(x) a le meme signe que -lnx car x² est toujours positif sur lintervalle considéré.
donc pour etudier le signe je dois faire la chose suivante:
-ln x 0 ssi -ln x ln 1 d'où -x 1 soit x -1 ? mais c'est bizarre de trouver un nbe négatif sachant que l'on est sur l'intervalle ]0; +[.
puis jai fais aussi:
-ln x 0 et j'ai trouvé que x -1
f(x) = 1/x + lnx/x
df : R+*
f '(x) = - lnx/x²
x² > 0 sur df --> f'(x) a le signe de -ln(x)
ln(x) < 0 pour x dans ]0 ; 1[
ln(x) = 0 pour x = 1
ln(x) > 0 pour x dans ]1 ; +oo[
et donc:
f '(x) > 0 pour x dans ]0 ; 1[
f '(x) = 0 pour x = 1
f '(x) < 0 pour x dans ]1 ; +oo[
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Sauf distraction. 
On peux démontrer ce résultat grâce à l'exponentielle ! (je pense que ton exercice n'a de l'intéret que si on redémontres ceci)
mais ce que jai fais, au debut de mon topic est il juste? peut on ecrire ca?
-ln x 
0 ssi -ln x ln 1 d'où -x 
1 soit x -1 ?
puis jai fais aussi:
-ln x 0 et j'ai trouvé que x -1
frufru,
Ce que tu as écrit n'est pas correct.
D'ailleurs, ln(x) n'existe pas pour x <= 0.
A partir de
... f '(x) a le signe de -ln(x)
on peut montrer que g(x) = ln(x) est croissante sur R*+
g '(x) = 1/x
g'(x) > 0 sur R*+ --> g(x) est strictement croissante.
Comme g(0) = 0, on conclut que:
ln(x) < 0 pour x compris dans ]0 ; 1[
ln(x) = 0 pour x = 1
ln(x) > 0 pour x compris dans ]1 ; +oo[
et donc en déduire le signe de f '(x) ...
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