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Fonction ln et exponentielle
Bonjour 
voici le sujet :
Voici l'énoncé :
Pour tout réel k stritement positif, on considère la fonction fk défini sur [0;+OO[ par fk(x) = ln((e^x)+kx)-x
Soit Ck la courbe reprétentatif de la fonction fk.
Partie A. Etude de la fonction f1 définie sur [0;+OO[ par :
f1(x) = ln((e^x)+x)-x
1 ) Calculer f1'(x) pour tout réel x appartinant à [0;+OO[ et en déduire le sens de variation de la fonciton f1.
Donc j'ai trouvé : f1'(x) = 1+x/((e^x)+x)
Mais pour le sens de variation, je ne sais plus comment faire !
2 ) Montrer que pout tout réel x apprtenant à [0;+OO[, f1(x)=ln(1+(x/(e^x)). En déduire la limite de f1 en +OO.
3 ) Dresser le tableau de variation de f1
Partie B : Etude et propriété des focntions fk
1 ) Calculer fk'(x) pour tout réel x apprtenant à [0;+OO[ et en déduire le sens de variaiton de la fonciton fk.
2 ) Montrer que pour tout réel x apprtenant à [0;+OO[ fk(x) = ln(1+k*(x/(e^x)) et en déduire la limite de fk en +OO.
3 ) a) Dresser le tableau de variaiotn de fk
b) Montrer que pour tout réel x de [0+;OO[ on a :
fk(x) k/e
4 ) Soit p et m 2 réels strictements positifs tels que p < m.
Etudier la position relative des croubes Cp et Cm.
Je suis arrivée à tout sauf à la 3)b), je bloque vraiment ....
en faisant mon tableau j'ai trouvé que:
fk(x)<ou= ln(e+k)-1
en modifiant ln(e+k)-1 j'ai : fk(x)<ou=ln(1+(k/e)) et après je ne vois pas quoi faire ...
Merci d'avance !
Bonjour,
Dans A)1), ta dérivée est fausse ; c'est (1-x) au numérateur.
Si elle était exacte, son signe serait évident car x
0 .
ha oui excusez moi, j'ai oublié d' effacer cela ^^ j'y suis arrivée entre temps ^^
j'ai trouvé:
f'1(x)= (1-x)/(e^x+x)
Bonjour !
1/ la dérivé du logarithme est de la forme u"/u, il y a une faute au dénominateur. dérivé de e^x ?
2/ faire le tableau de variation
ensuite pour la limite, c'est une composé très facile
lim e^x= + inf
x-->
lim x= + inf
x-->
lim x+e^x = + inf
x-->
donc lim ln(x+e^x)=+inf
lim (-x)=- infi
x-->+
On peut en déduire la limite finale. Qui est ?
Qu'as-tu trouvé comme dérivée en B) 1) ?
Je ne comprends pas le sens de " fk(x) k/e " . Peux-tu réécrire l'énoncé de 3)b) ?
j'ai fk'(x)= (k(1-x))/(e^x+kx)
lim fk en +OO = O
le 3)b) est :
Montrer que pour tout réel x de l'intervalle [O;+oo[, on a : fk(x) <ou égal à k/e
je ne vois vraiment pas comment faire pour la 3)b) ...
je sais juste que :
fk(x)< ln(e+k)-1
fk(x)<ln(1+(k/e))
... 
Pas de panique...
Il y a une propriété : ln x 
x-1 . Plus généralement, la courbe de la fonction ln est sous toutes ses tangentes.
Si cette propriété n'est pas dans ton cours, tu peux la redémontrer en étudiant la fonction g définie par g(x) = x - 1 - ln x .
D'autres contributeurs trouveront peut-être plus simple.
oui la propriété n'est pas dans mon cours et la prof a justement dit que cette fonction g(x) = x - 1 - ln x pouvait nous aider mais je ne comprends pas d'où elle ient et comment on la trouvé?
je pense avoir compris d'où vient votre fonction, mais je ne vois pas d'où vient celle donnée par ma prof ^^
Celle donnée par ta prof est moins "usuelle" mais plus adaptée à l'exercice.
Tu cherches à démontrer ln(1+k/e) k/e .
Si tu démontres ln(1+x) x ce n'est pas très différent 
D'où la fonction donnée par ta prof qui est la différence, et dont le sens de variation va te montrer que le maximum est 0.
ok mais comment les x sont apparus dans cette fonction? 
vu qu'on a que des k ... je ne comprends pas vraiment d'où elle vient :/
Cette fonction n'a rien à voir avec les fk .
Tu veux démontrer ln(1+k/e) k/e
Si tu démontres que ln(1+x) x , tu pourras remplacer x par k/e pour obtenir ton inégalité.
ha d'accord merci ! du coup on trouve bien que g est décroissante ?! (avec 0 pour maximum!
Merci beaucoup !
Oui, g est décroissante sur [ 0 ; +[ et a pour maximum 0 sur [ 0 ; +[ . Avec g(x) = ln(1+x) - x .
Bien préciser l'intervalle, car g n'est pas monotone sur ]-1 ; +[ ; le maximum de g est aussi 0 sur ]-1 ; +[ .
A une prochaine fois sur l'île
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