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fonction logarithme
Bonjour, en pleine révision pour le BAC j'ai un exercice complet sur les logarithme sur lequel je bloque complètement pouvez vous m'aidez ?
On considère les fonctions f(x) = x- ln(1+x) et g(x)= x+ln(1-x)
1)a. En utilisant uniquement lim ln(x)/x= 0 lorsque x tend vers +inf, déterminer les limites de f et g en + et - l'infini
1)b. Montrer que la droite D(y=x) est asymptote de Cf
1)c. Dresser le tableau de variation de f et g
2)a. On pose h(x)=f(x)-g(x) déterminer les variations de h
2)b. Montrer que Cf et Cg ont un unique point d'intersection d'abscisse alpha compris entre 1 et 2
2)c. Etudier suivant les valeurs de x la position de Cf er Cg. Tracer D, Cf et Cg
3)a.Montrer en utilisant les variations de F que 1+x < e^x
3)b. Montrer en utilisant les variations de G que e^x < 1/(1-x)
3)c. On pose x=1/k . Déduire que ln((1+k)/k) < 1/k <ln(k/(k-1))
4)a. On s'intéresse à la suite Sn= 1+1/2+1/3+....+1/n -ln(n)
Donner des valeurs approchées de S10, S20 et S30. Quelles conjectures pouvez vous faire sur le comportement de Sn
4)b. En utilisant les inégalités du 3.c montrer que Sn est décroissante et que 0< Sn < 1
que concluez vous ?
Voilà l'énoncé en entier. Alors je bloque sur les questions 1)a. et 1)b. la question 3) et la question 4)
D'avance merci !
d'accord, et du coup je trouve :
f(x) = x*(1-(ln(1+x))/x)
g(x) = x*(1+(ln(1-x))/x)
pour justifier les limites en + inf ça va je me sert de la limite que l'on nous donne mais pour justifier la limite en - inf je ne peux pas m'en servir et puis ln ne peut pas prendre de valeurs négatives donc je ne peux pas calculer ?
g(x) admet une limite en - inf (je crois avoir compris comment la démontrer) mais f(x) n'est admet pas
Bah du coup pour les questions 1)a et 1)c ya pas de problème, merci 
par contre pour la 1)b. Normalement une asymptote c'est quand la limite en +infinie c'est un nombre ou inversement or la je ne trouve pas ça ?
1.b) En réalité, la droite d'équation y = x n'est pas une asymptote de Cf, mais est dirigée suivant une direction asymptotique de Cf.
Cette direction asymptotique correspond à la limite de f(x)/x quand x tend vers + oo.
3)
a)
Si on a bien étudié les variations de F, on aura montré que f(x) >= 0 sur tout son domaine de définition, soit sur ]-1 ; +oo[
Et donc x - ln(1+x) >= 0
x >= ln(1+x)
e^x >= e^(ln(1+x)) (A justifier)
e^x >= (1+x)
1 + x <= e^x (le "=" est impératif, on ne peut pas l'oublier (cas x = 0))
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b)
Méthode analogue à ci-dessus.
Si on a bien étudié les variations de G, on aura montré que g(x) <= 0 sur tout son domaine de définition, soit sur ]-oo ; 1[
...
Et de nouveau une remarque (c'est déjà la 3eme sur l'énoncé) : On soit arriver à e^x <= 1/(1-x) (et pas à e^x < 1/(1-x), (penser au cas x = 0))
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Juste pour savoir :
Les 3 erreurs d'énoncé que j'ai mentionnées lors de mes 2 réponses (et je n'ai pas cherché s'il y en a d'autres) sont-elles dues à des erreurs de recopie de ta part ou bien émanent-elles de l'auteur de l'énoncé ?
Je viens de vérifier et mon énoncé est correct, je pensais que c'était mal recopié mais non il est tel que je vous l'ai présenté
j'ai reussi à traiter toutes les questions sauf la dernière ou il faut démontrer que 0< Sn < 1 pouvez vous m'aider svp ?
Salut 
J'ai exactement le même exercice ( Tu serais pas en TS3 à Fénelon d'ailleurs ?) et je bloque sur cette question aussi ...
Par la 3c :
1/k <ln(k/(k-1))
1/k < ln(k) - ln(k-1)
et donc :
avec k = 2 : 1/2 < ln(2) - ln(1)
avec k = 3 : 1/3 < ln(3) - ln(2)
avec k = 4 : 1/4 < ln(4) - ln(3)
...
avec k = n : 1/n < ln(n) - ln(n-1)
On fait la somme membres à membres de ces inégalités :
1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n < ln(2) - ln(1) + ln(3) - ln(2) + ln(4) - ln(3) + ... + ln(n) - ln(n-1)
On simplifie ce qui peut l'être dans le second membre -->
1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n < -ln(1) + ln(n)
1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n < ln(n)
1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n - ln(n) < 0
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n - ln(n) < 1
Sn < 1
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Voila, il reste à démontrer 0 < Sn
Essaie ...
On peut repartir de la question 3c avec ln((1+k)/k) < 1/k
et puis faire quelque chose d'analogue à ce que j'ai fait ci-dessus.
...
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Sauf distraction.
Bonjour, je trouve ce sujet plutôt bien pour réviser le bac j'ai essayer de le faire mais je n'est pas trouvé pour les questions 2) peut tu m'aider stp merci
2a)
h(x) = x - ln(1+x) - x - ln(1-x)
h(x) = - (ln(1+x) + ln(1-x))
h(x) = - ln((1+x)(1-x))
h(x) = - ln(1-x²) pour x dans ]-1 ; 1[
h'(x) = 2x/(1-x²)
h'(x) < 0 pour x dans ]-1 ; 0[ --> h est décroissante.
h'(x) = 0 pour x = 0
h'(x) > 0 pour x dans ]0 ; 1[ --> h est croissante.
Il y a un max de h en x = 0, ce max vaut h(0) = ln(1) = 0
lim(x--> -1+) h(x) = +oo
lim(x--> +1-) h(x) = +oo
...
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2b)
Cf n'existe que pour x > -1
Gg n'existe que pour x < 1
--> Les coordonnées des points d'intersection éventuels de Cf et Cg sont solutions de f(x) = g(x) (sur ]-1 ; 1[ pour que f ET g existent)
Il n'est donc pas possible de démontrer le 2b ... qui est faux.
Il doit y avoir des erreurs d'énoncé... En plus des nombreuses déjà mentionnées.
Je ne sais pas où on va ... mais on y va vite. 
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