Bonsoir, j'ai besoin d'aide avec cet exercice s'il vous plaît, il se découpe en 3 parties mais je préfère les poster une par une...
f est définie sur ]0;+infini[ par f(x)= ln(x)/x
Partie 1
1)Déterminer les limites en 0 et +infini
2)Que peut-on en déduire graphiquement ?
3)Étudier les variations de f sur ]0;+infini[
4)m est un nombre réel. Préciser, suivant les valeurs de m, le nombre de solutions de l'équation f(x)=m
Voici ce que j'ai fait :
1)lim f(x)=-infini
x->0+
lim f(x)=0
x->+infini
2)On en déduit que f est croissante et tend vers 0 ?
3)Faut-il faire un domaine de validité pour 1-ln(x) ?
Merci d'avance
Bonsoir,
1) C'est juste.
2) On peut en déduire la présence d'asymptotes, à préciser.
3) Etudie le signe de la dérivée f '(x).
Le signe de la dérivée est celui de 1 - ln(x).
Quand cette expression est-elle positive ? nulle ? négative ?
Elle est positive lorsque x<e^1
Négative lorsque x>e^1
Nulle lorsque x=e^1
Mais graphiquement, à la calculatrice, je trouve que ln(x)/x est croissante jusque 5, quelque chose
Il s'agit simplement de remplacer f(x) par (ln x)/x .
Tu pourrais effectuer la discussion de façon graphique, en traçant la courbe représentative de f(x) et la droite variable d'équation y = m et en observant le nombre de points d'intersection suivant la valeur donnée à m .
Tu pourrais le faire simplement avec un papier et un crayon.
Tu traces, dans un repère orthonormal, la courbe représentative de f(x) (glapion t'a montré son allure à 10h43) et une droite horizontale d'ordonnée m .
En donnant diverses valeurs à m , tu vois que la droite correspondante coupe la courbe en 0, 1 ou 2 points.
Finalement, il s'agit de déterminer les intervalles où m doit se trouver pour qu'il y ait 0, 1 ou 2 points d'intersection.
Est-ce que l'on peut déterminer ça à l'aide du tableau de variation de la question précédente ? Car tracer la courbe c'est dans la partie suivante
Mais vous dites que l'on doit chercher m tel que le nombre d'intersection avec Cf soit 0, 1 et 2 mais il y a plusieurs valeur de m tel que le nombre d'intersection est de 1 par exemple ?
Oui, il y a plusieurs valeurs de m conduisant à un seul point d'intersection. Ces valeurs sont comprises dans un intervalle et c'est cet intervalle qu'il s'agit de préciser.
En procédant par examen graphique, tu verras immédiatement comment se situent les divers intervalles. Puis, tu pourras donner ta réponse sur la base du tableau de variation.
Comment trouver pour 1 et 2 intersections ?
Je pense que pour 1 c'est entre lim f(x) mais je ne sais pas jusqu'à combien
x->0+
Déplace une règle horizontale sur le graphe de la fonction et tu verras quelles sont les limites de l'intervalle pour 1 intersection.
Regarde la courbe de 10h43. Crois-tu qu'une droite horizontale ne pourrait jamais la couper en deux points ?
C'était pour dire qu'il fallait, pour n'oublier aucun cas, que la droite horizontale balaie tout l'espace. Mais, en pratique, ce n'est heureusement pas nécessaire pour obtenir les intervalles correspondant à 0, 1 ou 2 points d'intersection.
Tu as déjà trouvé une limite d'intervalle (à 19h23). Ne trouves-tu pas les autres ?
Non, m n'est pas le nombre d'intersections de la courbe et de la droite.
Cette droite, d'équation y = m , est horizontale et peut prendre différentes positions selon la valeur donnée à m , laquelle peut varier de - oo à + oo.
Que réponds-tu à ma question de 9h12 ?
Je n'ai plus beaucoup de temps donc je poste la seconde partie si ça ne vous dérange pas...
Partie 2
1)a)Tracer Cf dans un repère d'unité4cm
b)Tracer la droite delta d'équation y=2x
c) Déterminer graphiquement l'abscisse alpha du point A de Cf en lequel la tangente à Cf est parallèle à la droite delta. Construire cette tangente
2)montrer que alpha vérifie l'équation 1-ln(alpha)-2alpha2=0
3)Donc on a g définie sur ]0;+infini[ par g(x)=1-ln(x)-2x2
a)Déterminer les limites en 0 et +infini
b)Étudier les variations de g sur ]0;+infini[
c)Montrer alors qu'il existe un unique point À d'abscisse alpha de Cf en lequel la tangente à Cf est parallèle à la droite delta.
d)Donner une valeur approchée de alpha arrondie au dixième.
e)Vérifier que f(alpha)=1/alpha -2alpha. En déduire une valeur approchée de f(alpha) sans calculatrice
J'ai essayé de m'avancer, j'ai fait le graphique au brouillon et je trouve pour la question 1)3) xalpha=0,5 mais si je remplace alpha par 0,5 à la question 2) je ne trouve pas 0 donc j'ai du faire une erreur en traçant :
Bonjour
le(s) point(s) où la tangente a un coefficient directeur = m ont pour abscisses les solutions de f'(x) = m
c'est général partout pour toutes les fonctions
tu as calculé l'expression de la dérivée f'(x) à l'occasion de la 1ère partie
ru veux un coefficient directeur = celui de la droite y = 2x, qui est 2
donc f'(x) = 2
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