Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths spé AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau maths spé
Partager :

fonction logarithmiquement convexe

Posté par
robby3 05-11-09 à 21:05

Bonsoir tout le monde,
je bute sur quelques questions:

5$ \rm \fbox{on dit qu'une fonction f est logarithmiquement convexe (l-convexe) \\ si elle est a valeurs strictement positives et si ln(f) est convexe.}

Citation :
1)Soient 5$ A,B,a,b des réels strictement positifs
Calculer le minimum de la fonction 5$ h(x)=Ax^a+Bx^{-b} sur 5$ ]0,+\infty[

2) en déduire qu'une fonction 5$ f est l-convexe ssi 5$ \forall t\in \mathbb{R} x\longrightarrow f(x)e^{tx} est convexe.

3)Démontrer que la somme de deux fonctions l-convexes est l-convexe

4)Supposant 5$ f deux fois dérivables sur 5$ I, à valeurs strictement positives, démontrer que f l-convexe ssi 5$ f'^2\le f''.f


pour la 1),j'ai trouvé un minimum en 5$ x=\(\frac{bB}{aA}\)^{\frac{1}{b+a}} est-ce correct déjà?
pour la 2) rien à faire,je coince dans les 2 sens.
pour la 3)le néant, je pars des hypothèses,je jongle avec les définitions mais absolument rien de correct ne vient.
pour la 4) le sens direct est trivial dans la mesure ou une fonction l-convexe est convexe.La réciproque m'échappe.

merci d'avance de vos éventuelles idées,parce que là ça fait un bon moment que je cherche désespérément.

Posté par
romure : fonction logarithmiquement convexe 05-11-09 à 21:23

Salut Robby,

pour la 1) j'ai pareil.

Pour la 2), dans le sens direct, si on définit la fonction g_t par g_t(x)=f(x)e^{tx},
on peut utiliser le fait que g_t(x)=( \textrm{exp}\circ\ln)\circ g_t(x).

Posté par
robby3re : fonction logarithmiquement convexe 05-11-09 à 21:35

Salut Romu
(et merci déjà de t'intéresser au problème )

1) ok pour la 1.

2) je ne vois pas:

5$ fl-convexe donc 5$ ln(f) convexe: 5$ ln(f(\lambda.x+(1-\lambda).y))\le \lambda.ln(f(x))+(1-\lambda).ln(f(y))

que veux-tu faire à partir de là?

Posté par
romure : fonction logarithmiquement convexe 05-11-09 à 21:40

g_t(x)==\exp\circ(\ln\circ g_t(x))=\exp\circ(\ln\circ g_t(x))=\exp\circ(\ln (f(x)e^{tx}).

Après il faut jouer avec les propriétés algébriques du log, et se rappeler les opérations conservant la convexité.

Posté par
robby3re : fonction logarithmiquement convexe 05-11-09 à 21:41

j'arrive à démontrer l'autre sens avec ton indication Romu

Posté par
romure : fonction logarithmiquement convexe 05-11-09 à 21:44

désolé, j'ai fait plein de fautes de frappe ,
je voulais dire:

g_t(x)=(\exp\circ \ln)\circ g_t(x)=\exp \circ (\ln\circ g_t)(x)=\exp \circ (\ln (f(x)e^{tx}))(x)

Posté par
robby3re : fonction logarithmiquement convexe 05-11-09 à 21:45

je suppose g_t(x) convexe:

5$ g__t(\lambda.x+(1-\lambda)y)\le \lambda g_t(x)+(1-\lambda)g_t(y)

on a donc

5$ (e o ln)o g_t(\lambda.x+(1-\lambda)y)\le(e o ln) o(\lambda g_t(x)+(1-\lambda)g_t(y))=e^{ln(\lambda g_t(x)+(1-\lambda)g_t(y))}

puis 5$ ln(g_t(\lambda.x+(1-\lambda)y))\le ln(\lambda.g_t(x)+(1-\lambda)g_t(y)) d'ou 5$ g_t est l-convexe d'ou 5$ f(x) l-convexe car le produit de fonctions l-convexes est convexes(trivial)


oui?

Posté par
romure : fonction logarithmiquement convexe 05-11-09 à 21:47

Citation :
j'arrive à démontrer l'autre sens avec ton indication Romu


c'est encore mieux alors

Posté par
robby3re : fonction logarithmiquement convexe 05-11-09 à 21:50

euh en fait,aprés réflexion,ma conclusion est précipitée...g_t(x)=f(x).e^{tx} est l-convexe et e^{tx} est l-convexe d'ou forcément f(x) est l-convexe.

je ne pige toujours pas le sens direct...j'y réfléchis encore!

Posté par
robby3re : fonction logarithmiquement convexe 05-11-09 à 21:54

ah mince!!
e^{tx} n'est pas forcément l-convexe à cause du t dans \mathbb{R}

Posté par
romure : fonction logarithmiquement convexe 05-11-09 à 21:56

et alors?

Posté par
robby3re : fonction logarithmiquement convexe 05-11-09 à 22:02

et alors mon raisonnement tombe donc à l'eau...(21:45+21:50 )

par ailleurs,j'avoue que le sens direct ne me vient vraiment pas!

Posté par
romure : fonction logarithmiquement convexe 05-11-09 à 22:06

e_t:\ x\rightarrow e^{tx} est à valeurs strictement positive, et ln\circ e_t est l'homothétie de rapport t, qui est convexe, donc e_t est l-convexe.

Posté par
robby3re : fonction logarithmiquement convexe 05-11-09 à 22:11

ah oué,je sais pas ce que j'ai fais...une crise de panique au vu d'un éventuel t négatif
ok,donc le sens indirect ça doit être bon.

pour le sens direct,ta méthode n'utilise pas la question précédente si?

Posté par
romure : fonction logarithmiquement convexe 05-11-09 à 22:12

pour le sens direct, par rapport au membre de droite des égalités de mon post de 21:44, on se concentre sur le bout:

\ln (f(x)e^{tx})=(\ln\circ f)(x)+tx

\ln\circ f est convexe par hypothèse, ce bout est ainsi une somme de fonction convexes, et donc convexe aussi.

En composant à gauche par l'exponentielle (qui est croissante convexe) ça reste convexe, et le résultat de cette composition est g_t.

Posté par
robby3re : fonction logarithmiquement convexe 05-11-09 à 22:23

ah tu utilises le fait que la composé de fonction convexe et croissante est convexe?

Posté par
romure : fonction logarithmiquement convexe 05-11-09 à 22:25

c'est bien ça.

Posté par
robby3re : fonction logarithmiquement convexe 05-11-09 à 22:29

mais est-il évident que le bout est croissant?

Posté par
robby3re : fonction logarithmiquement convexe 05-11-09 à 22:36

(pour la 4, c'est bon au fait!)

Posté par
romure : fonction logarithmiquement convexe 05-11-09 à 22:37

c'est pas nécessaire.

quand on compose deux fonctions convexes, il suffit que celle de gauche soit croissante pour que la composition soit convexe.

Posté par
robby3re : fonction logarithmiquement convexe 05-11-09 à 22:45

Ok,au temps pour moi, je pensais que les deux devaient être croissantes.

pour la 3) si j'arrive à montrer qu'une fonction continue est l-convexe ssi 5$ f(\frac{x+y}{2})\le \sqrt{f(x).f(y)}
j'ai gagné.

Posté par
robby3re : fonction logarithmiquement convexe 05-11-09 à 22:51

et là,j'arrive à montrer =>...me manque la réciproque!

Posté par
romure : fonction logarithmiquement convexe 05-11-09 à 22:51

pour le sens direct, on peut utiliser cette proposition: .

Posté par
romure : fonction logarithmiquement convexe 05-11-09 à 22:53

dans l'autre sens aussi d'ailleurs.

Posté par
robby3re : fonction logarithmiquement convexe 05-11-09 à 22:56

ah oui!
bah c'est régler alors!

Merci pour tout Romu!

Posté par
romure : fonction logarithmiquement convexe 05-11-09 à 23:02


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !