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fonction polynomiale / suite
Bonjour , j'ai un exercice avec 8 petites questions , j'aimerais vous montrer mes 1ers résultats .
1) Vérifier 2 < 
7 < 3 .
On sait que si a² < x² < b² , alors |a| < |x| < |b| , donc comme 4 < 7 < 9 , l'inégalité est bien vérifié . Je ne suis pas certain que ça soit bien rédigé .
Soit f l'application définie sur R par f(x) = x - (x² - 7)/4 . Etablir le tableau de variations de f en faisant appaitre les valeurs pour lesquelles f(x) s'annule . Résoudre l'équation f(x) = x .
Alors pas de problèmes j'ai bien réussi à tracer le tableau de variations , f' = 0 pour x = 2 , et f(x) s'annule pour x1 = 2 - 11 et x2 = 2 + 11 . Elle est croissante sur ]-
;2[ et décroissante sur ]2; +[ .
2) Justifier que l'application soit de classe C1 puis montrer qu'il existe une constante c 
]0;1[ que l'on déterminera telle que 
x [1,3] , |f'(x)| 
c .
L'application est de classe C1 car f est une fonction polynomiale et donc elle es dérivable .
Sur l'intervalle [1,2] , f'(x) > 0 , sur l'intervalle [2,3] , f'(x) < 0 . Donc d'après le th des valeurs intermédiaires , il existe un réel c tel que f'(c) = 0. Comme la fonction est continue est strictement croissante d'un coté ou décroissante de l'autre , il existe bien c tel que...
3)On pose I = [1,3] . Montrer que f(I) contenu dans I . Soit (Un) n
0 , la suite définie par la donnée U0 I et n 
, Un+1 = f(Un) . Montrer que n , Un I .
Là j'ai procédé par réccurence , on a U0 appartient à I , on suppose Un appartient à I . Un+1 = Un - (Un²-7)/4 . Comme F(I) contenu dans I , on peut dire que Un+1 appartient à I , voilà ma justification .
4)Si la suite Un converge , quelle peut être sa limite ?
Là je n'ai pas d'idée mais à tout hasard ya t'il quelque chose avec le théorème du point fixe ?
Que pensez vous de mes 1eres réponses ?
Merci de votre soutien .
salut
1: car x
x est croissante...
2: ... et f' est continue (fonction affine)
2: majore |f'(x)| sur [1,3] tout simplement
3: utilise les variations def pour montrer que f(I)
I
3: donc unI
f(un)=un+1I puis c'est vrai pour u0
4: si limite alors f(x)=x
salut carpediem , est ce que tu peux développer un peu tes réponses s'il te plait pour la 1 , 2 et 4 car je ne comprends pas bien ...
1: il faut dire que ta fonction conserve l'ordre ie elle est croissante
2: C1=dérivable et dérivée continue
4: oui théorème du point fixe: si L=lim un alors f(L)=L
ok mais pour la question 2) , j'ai utilisé le TVI et toi tu parles d'une majoration ...
Que penses tu de ma réponse d'abord ?
Ensuite j'ai jamais majoré de fonction polynome donc je ne te suis pas du tout je suis un peu perdu 
carpe , pour la question 2) je dis bien qu'elle est de classe C1 car elle est polynomiale ?
Ensuite pour cette constante c comment montrer qu'elle existe ? Ensuite il faut que je trouve sa valeur...
f'(x) vaut -x/2 + 1 , par quoi la majorer , ya une infinité de manière de le faire , par 1 par exemple ?
Je ne sais pas rédiger ma réponse pour la question 2) franchement...
Pour la question 3) , je dois montrer que f(I) contenu dans I . Tu me demandes d'utiliser les variations de f .
Donc je fais f(1) = 2,5 , f(3) = 2,5 , f(2) = 2,75 et c'est un extremum , donc puis je conclure que f(I) contenu dans I ? En prouvant uniquement juste f(I) contenu dans I je peux affirmer que Un+1 contenu dans I t'es sur ?
4)Soit f:E->E une fonction continue, et (un) une suite récurrente définie par u0 appartient à E et un+1=f(un). Alors si (un) converge, cela ne peut être que vers un point fixe de f.
Donc ici le point fixe est x si j'ai bien compris ?
carpe si tu es dans les parages n'hésite pas lol car la question 2 me pose bien des soucis ... et comme tu le vois j'ai amélioré les autres...
2: 1x3 -3-x-1 3/2-x/2-1/2 -1/2-x/2+11/2 |f'(x)|1/2
2: f est un polynôme donc f est continue, dérivable et sa dérivée est continue
3: d'après les variations de f tu as les variations de f sur [1,3] (max,min) et donc tu peux conclure que f(I)I
ce qui signifie que xI f(x)I
4)Soit f:E->E une fonction continue, et (un) une suite récurrente définie par u0 appartient à E et un+1=f(un). Alors si (un) converge, cela ne peut être que vers un point fixe de f.
oui et ce point fixe est solution de l'équation f(x)=x
et il faut vérifier que ta sol
IBien , alors ça c'est réglé , j'ai rédigé mes réponses , il reste donc 4 petites questions :
5) Montrer n , |Un+1 - 7| c |Un - 7| .
Montrer n , |Un - 7| 1/2^n |U0 - 7|
Alors là c'est la noyade totale je vois pas du tout , essayons :
|Un - (Un²-7)/4 - 7| 1/2 |Un - 7|
Il me faudrait des infos sur Un pour répondre à cette question...
6)Montrer U0 [1,3] , |U0 - 7| 2 .
Là encore franchement aucune idée , est ce que quelqu'un a une piste ? Racine de 7 est le point fixe mais bon...
utilise le TAF: |f(b)-f(a)||f'(r)||b-a|
avec c=1/2=f'(r) (cf 2)
ecris tes n égalités pour n=0,1,2,...,n et multiplie les entre elles
Le TAF marche pour toute la question 5 il me semble ?
Quant à ta dernière phrase je ne vois meme pas de quoi tu parles , je suis largué ça craint franchement ça va barder à l'examen 
oui c'est le TAF
ecris tes n inégalités:
|Un+1 - 7| c |Un - 7|
pour n=0,1,2, ,n-1 et multiplie les membre à membre
carped je suis désolé mais je ne comprends pas du tout tes réponses , pour la question 5) on cite juste le TAF et c'est terminé ? Ya 2 parties dans cette question , donc pour la 1ere le TAF et pour la second le TAF + calcul de tous les n...?
TAF: (sur [1,3])
|f(un)-f(7)|(1/2)|un-7|
or f(un)=....
et f(7)=...
|u1-7|(1/2)|u0-7|
|u2-7|(1/2)|u1-7|
......................
|un-7|(1/2)|un-1-7|
maintenant multiplie les membre à membre (car tout est positif) en imaginant celles qui manquent (entre 2 et n-1) et simplifie
carpe pour la 1ere question du 5) ok , c'est le TAF , mais je regrette ton histoire de U1 , U2 ...il manque le puissance n en bas du 2 et je ne comprends pas la multiplication membre à membre , je ne vois meme pas ce qu'il faut multiplier...
si 0<a<b et 0<c<d alors 0<ac<bd
et comme tu as n relation multipliées entre elles tu vois apparaitre (1/2)n
bon ok c'est réglé , donc maintenant pour la question 6 en fait , entre 1 et 3 , on a un max de 2,75 , donc si U0 est de max , comme la fonction est décroissante à partir du max , la fonction sera forcément inférieure à 2 , je pense que c'est bon comme justification qu'en penses tu ?
Par contre c'est le égale dans le signe inférieur qui m'ennuie , U0 - 7 ne peut pas être égale à 2...
3la longueur est 2 , mais le 7 m'a sans doute perturbé , car vu que c'est le point fixe son abscisse vaut son ordonnée . Donc j'ai juste à dire que la longueur de l'intervalle était de 2 , U0 - V7 < 2 ? c'est pas plus compliqué que cela ?
Donc voici les 2 dernières petites questions :
7)Montrer que la suite Un est convergente et préciser sa limite .
On sait qu'elle est décroissante , bornée ça c'est plus difficile à montrer .
Suivant ce qu'on a dit au 4) , sa limite est 7 .
8)Comment l'étude précédente permet elle d'obtenir une valeur approchée rationnelle de 7 à 10^-6 près ?
Alors là , peut etre parce que la suite est définie sous la forme d'un quotient ?
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