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Fonction s'annulant 2n+3 fois

Posté par
olive_68 25-09-09 à 19:29

Bonjour

J'ai un peu besoin d'aide la

Citation :
Soit  n  un entier naturel non nul, Demontrer que l'équation 3$ 2x=(2n+1)\pi (1-\cos(x)) a exactement 2n+3 solutions  


Merci davance pour votre aide

Posté par
olive_68re : Fonction s'annulant 2n+3 fois 25-09-09 à 19:32

( Euh notre prof nous a dur de faire une fonction avec la différence des deux termes et de dériver deux fois mais bon ça maide carrément pas .. )

Posté par
olive_68re : Fonction s'annulant 2n+3 fois 25-09-09 à 20:01

Qui fait le bg ?

Merci d'avance

Posté par
carpediemre : Fonction s'annulant 2n+3 fois 25-09-09 à 20:11

salut olive_68

c'est quoi un bg ?

pour la dérivée 2e : peut-être le théorème des valeurs intermédiaires te donne 2n+1 racines donc 2n+2 pour la dérivée et 2n+3 pour la fonction...

Posté par
Rudire : Fonction s'annulant 2n+3 fois 25-09-09 à 20:16

bonjour

par analyse graphique

Fonction s\'annulant 2n+3 fois :)

les droites 1-2x/(2n+1) issues de (0;1) viennent à l'intersection avec le point bas de la fonction cosinus

pour n>0, il y aura donc 2 fois 2=4 intersections avec les arches extrêmes et 2n-1... intersection avec les arches internes

Rudy

Posté par
carpediemre : Fonction s'annulant 2n+3 fois 25-09-09 à 20:22

salut Rudi

voir n'est pas une preuve mais permet de guider l'intuition...

Posté par
olive_68re : Fonction s'annulant 2n+3 fois 25-09-09 à 20:23

Salut Carpediem

Merci de ta reponse mais j'ai du mal a comprendre pourquoi on aurait 2n+2 puis 2n+3 solutions au final, puisque j'aurais des contres exemples comme (x^4)+1 enfin quoi que il y aurait quand même deux racines de plus que la dérivée seconde mais c'est une fonction polynomiale alors que mon truc c'est en cosinus .. Enfin si tu pouvais men dire plus je serais heureux

Un bg : beau goss : D

Posté par
carpediemre : Fonction s'annulant 2n+3 fois 25-09-09 à 20:25

déja qu'obtiens-tu pour la dérivée seconde ?


merci de me flatter

Posté par
olive_68re : Fonction s'annulant 2n+3 fois 25-09-09 à 20:27

Salut rudi

Merci pour l'analyse graphique mais je cherche toujours a prouver la chose par 'écrit' ^^

Posté par
carpediemre : Fonction s'annulant 2n+3 fois 25-09-09 à 20:33

fais le tableau de variation de f' puis ensuite celui de f....

Posté par
olive_68re : Fonction s'annulant 2n+3 fois 25-09-09 à 20:34



Je trouve (2n+1)pi *cos(x) désolé si je met longtemps a répondre et sans latex en plus mais je suis pas sur un ordi

Mais avec le graph de rudi je commence un peu a sentir la relation entre la fonction et la dérivée seconde mais je n'ai toujours pas le déclic ..

Posté par
esta-fettere : Fonction s'annulant 2n+3 fois 25-09-09 à 20:41

bonsoir...

la méthode pour ce type d'exercices:
on dérive et on trace le tableau de variations...

il suffit de voir que:

la dérivée est nulle pour x= ......
on cherche les extrèma, qui sont de signes alternant....(.......-;+;-;+....
entre ces extrèma, il y a les racines (théorème de la bijection à appliquer)

Posté par
olive_68re : Fonction s'annulant 2n+3 fois 25-09-09 à 20:50

Salut esta-fette

C'est ce que je suis entrain de faire

Je vous tiens au courant merci

Posté par
esta-fettere : Fonction s'annulant 2n+3 fois 25-09-09 à 21:03

une autre piste:

4$ \cos x = 1 - \frac {2x} {(n+1)\pi}

et il faut bien évidemment x positif et
4$ 0 \leq \frac {2x} {(n+1)\pi}\leq 1

Posté par
esta-fettere : Fonction s'annulant 2n+3 fois 25-09-09 à 21:04

bonjour olive...

Posté par
olive_68re : Fonction s'annulant 2n+3 fois 25-09-09 à 22:13

Re

Je pense sentir que je dois montrer que la droite donnée plus haut a un coef directeur tel que lorsque x vaut 2(n+1) la droite donnée est strictement plus petit que -1 .. Ce que voudrait dire que la droite coupe exactement 2n+2 fois le cosinus sur les réels strictement positif plus la solution en zéro qui nous donne les 2n+3 solutions voulu mais j'arrive a le montrer en faisant du bricolator mais étant donnée que je ne suis plus en terminale ça risque de ne pas passer

Merci d'avance , j'essayerais de faire avec ce que j'ai ça vous ennuie ^^  

Merci pour vos aides

Posté par
carpediemre : Fonction s'annulant 2n+3 fois 25-09-09 à 23:44

tableau de variation + extrema + TVI pour f' puis TVI pour f sans oublier 0
est ce qu'il y a de plus rigoureux

Posté par
olive_68re : Fonction s'annulant 2n+3 fois 26-09-09 à 00:11

Merci mais j'y arrive sur de petits intervalles mais je ne vois pas comment généraliser donc je vais laisser tomber et pas faire cet ego de mon DM, merci beaucoup a vous j'y reviendrais quand j'aurais un peu moins de devoir

Posté par
esta-fettere : Fonction s'annulant 2n+3 fois 26-09-09 à 15:09

on 0 \leq x \leq n \pi + \frac \pi 2

il suffit de disjoindre les cas:

résoudre
4$ 1-cos x = \frac {2x} {(2n+1) \pi} , pour , x \in [k \pi + \frac {\pi}2; (k+1) \pi + \frac {\pi}2]

pour k variant de 0 à n-1

Posté par
esta-fettere : Fonction s'annulant 2n+3 fois 26-09-09 à 18:05

ce qui semble donner une récurrence......

Posté par
olive_68re : Fonction s'annulant 2n+3 fois 27-09-09 à 11:02

Salut à tous

Merci je vais essayer ça durant mon jour de repos

Je vous tiendrais au courant si je trouve


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