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Fonction spécifique

Posté par
boostbasket 30-05-09 à 14:51

Bonjour à tous,  petit problème sur un exercice, j'espère que vous pourrez me donner un coup de main, merci d'avance.

Soit g une fonction de classe C  infinie de  dans.On suppose qu'il existe un réel tel que :
  
           x , g(2x) = g(x)

a) Montrer que : x , k , ^kg(x) = g(x/(2^k))

b) Montrer que si =0,  alors g est nulle
c) Montrer que si ||>1, alors g est nulle
d) On suppose 0<||1. Justifier l'existence d'un entier naturel  p et d'un réel tels que :
                             ||>1 et x, g(2x)^(p)=g(x/2^k)^(p) ( (p) est la dérivée p-ième)

Je bloque au niveau de la question d)

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonction spécifique 30-05-09 à 21:14

Bonjour,

Tu dois pouvoir démontrer par récurrence que;

2^{p(k+1)}\alpha ^kg^{(p)}(x)=g^{(p)}\left(\frac{x}{2^k}\right)

Pour k fixé, il reste à démontrer que pour tout \alpha tel que 0<|\alpha|\leq 1, il existe p_0 tel que:

2^{p_0(k+1)}|\alpha|^k>1

Ca ne doit pas être insurmontable...

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonction spécifique 30-05-09 à 21:18

Comme d' habitude une erreur :

2^{p(k+1)}\alpha ^kg^{(p)}(2x)=g^{(p)}\left(\frac{x}{2^k}\right)

Posté par
boostbasketre : Fonction spécifique 31-05-09 à 19:34

Bonjour Cailloux, merci pour ton info, je vais essayer de faire sa.

Posté par
boostbasketre : Fonction spécifique 31-05-09 à 20:31

Je dois maintenan en  déduire que g est polynomiale, une idée?

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonction spécifique 01-06-09 à 00:54

Je m' aperçois qu' il y a encore une erreur dans 21h14, plutôt:

2^{p(k+1)}\alpha ^{k+1}g^{(p)}(x)=g^{(p)}\left(\frac{x}{2^k}\right)

Pour la suite, pour tout x\in\mathbb{R} et tout k entier naturel, il existe donc p entier naturel et \beta tels que |\beta|>1 tels que:

\beta g^{(p)}(2x)=g^{(p)}\left(\frac{x}{2^k}\right)

en passant à la limite quand k\to +\infty

\beta g^{(p)}(2x)=g^{(p)}(0) (puisque g^{(p)} est continue en 0)

Puis pour x=0:

\beta g^{(p)}(0)=g^{(p)}(0)

(\beta-1)g^{(p)}(0)=0 donc g^{(p)}(0)=0 (|\beta|>1)

Du coup pour tout x, g^{(p)}(2x)=0

ou encore g^{(p)}(x)=0

Ce qui signifie bien que g est une fonction polynomiale.



Posté par
boostbasketre : Fonction spécifique 01-06-09 à 11:07

Je comprend le raisonnement mais je ne comprend pas la  conclusion, pourquoi comme g dérivée p-ieme est nulle, la fonction g est polynomiale ?

Posté par
boostbasketre : Fonction spécifique 01-06-09 à 11:11

Je  viens de voir, grosse erreur de  ma part, en fait il fallait démontrer que g^(p)(2x)= g^(p)(x), j'ai réussi sans problème à le faire.

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonction spécifique 01-06-09 à 11:50

Citation :
pourquoi comme g dérivée p-ieme est nulle, la fonction g est polynomiale ?


g^{(p)}(x)=0

g^{(p-1)}(x)=a

g^{(p-2)}(x)=ax+b

\vdots

Posté par
boostbasketre : Fonction spécifique 01-06-09 à 12:52

Merci beaucoup pour ton aide, dernière petite question, y-a-t-il d'autres moyens de miontrer qu'une fonction est polynomiale ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonction spécifique 01-06-09 à 13:02

Vaste question... Certainement, mais tout dépend des conditions que l' on impose à la fonction en question.

En tout cas, dans le cas d' un fonction C^{\infty}, démontrer qu' il existe un certain rang p pour lequel la dérivée p ème est la fonction nulle est la première idée qui me vient à l' esprit.

Posté par
boostbasketre : Fonction spécifique 01-06-09 à 13:13

Parce qu'on définit la fonction P de F(,) dans  lui  même,  qui à a toute fonction associe la  fonction P() définie par :

x , P() (x) = (x+1) - (x)

On a montré que est linéaire, que les élément de son noyaux sont les fonctions constantes et que lorsque   est polynomiale, il en es de même pour P().

Dans cette question, on suppose que f est une fonction de classe  C  infinie et que P(f) n'est pas la fonction nulle

a) Montrer que P(f) est une fonction polynmiale non nulle

Posté par
boostbasketre : Fonction spécifique 01-06-09 à 13:15

Pour info, le sujet et tiré de l' ESCP-EAP 2004 mathématiques 1

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonction spécifique 01-06-09 à 13:27

A mon avis, il faut encore démontrer qu' à partir d' un certain rang p, P(\phi)^{(p)} est la fonction nulle.

Pour l' instant, je ne vois pas...

Peut-être le théorème des accroissements finis avec des segments emboités... ?

Posté par
boostbasketre : Fonction spécifique 01-06-09 à 13:32

Tiens voici le sujet, il ya toute une histoire d'une fonction associée sur laquelle le sujet est basée que  je n'ai  pas  mentionné qui pourra surement t'aider.
http://www.lyc-hoche-versailles.ac-versailles.fr/maths/upsmaths/BULLETIN/bult2004/m04dx1e.pdf

Posté par
boostbasketre : Fonction spécifique 01-06-09 à 13:34

Je pensais simplement dire qe f est C  infinie donc d'aprè la  partie précédente  f est polynomiale donc P(f) est polynomiale ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonction spécifique 01-06-09 à 13:49

Citation :
que les élément de son noyaux sont les fonctions constantes


Je verrais plutôt les fonctions périodiques de période \frac{1}{n} avec n\in\mathbb{N}^*

Pour ta question, cette histoire de suite adaptée associée intervient certainement; il faudrait regarder ça de près...

Posté par
boostbasketre : Fonction spécifique 01-06-09 à 14:06

Ce sujet m'énerve

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonction spécifique 01-06-09 à 15:09

Avec l' énoncé complet, ça va mieux:

Il a été démontré que pour tout n\in\mathbb{N}^* et pour tout x\in\mathbb{R}:

s_n\delta(f)(nx)=\delta(f)(x)

Avec n=2: s_2\delta (f)(2x)=\delta (f)(x)

\delta(f) n' est pas la fonction nulle.

Et la question traitée au dessus avec (\alpha=s_2) permet d' affirmer que \delta(f) est polynomiale non nulle.


Posté par
boostbasketre : Fonction spécifique 01-06-09 à 16:08

Merci, je vais continuer à réflchir sur tout cela, pourais-je solliciter a nouveau ton aide en cas  de problème ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonction spécifique 01-06-09 à 16:10

Sans souci, mais aussi sans garantie de résultat...

Posté par
boostbasketre : Fonction spécifique 01-06-09 à 21:53

b) A l'aide de (2) montrer que pour tout entier naturel non nul n , on a :

      sn= 1/n^q

puis montrer qu'il esxiste un réel nn nul a tel que x

                      P(f) (x) = ax^q

Posté par
boostbasketre : Fonction spécifique 01-06-09 à 22:02

Début de la question réussi, il suffit de faire tendre vers plus infini x àn fixé et on trouve Sn

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonction spécifique 01-06-09 à 22:11

Donc \delta(f) est un polynôme non nul de degré q

soit a\not=0 son coefficient dominant;

On a pour tout x: s_n\delta(f)(nx)=\delta(f)(x)

Pour que les deux polynômes de chaque membre soient égaux, il faut que leurs termes de plus haut degré le soient:

as_nn^q=a

ou bien s_n=\frac{1}{n^q}

Posté par
boostbasketre : Fonction spécifique 01-06-09 à 22:22

Je ne vois pas pourquoi cela prouve l'existence d'un tel que P(f) (x) = ax^q

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonction spécifique 01-06-09 à 22:29

Ah, je n' avais pas vu ton message; je répondais au début de la question ...

Posté par
boostbasketre : Fonction spécifique 01-06-09 à 22:30

En fait si le polynome à tous ces termes nuls sauf le dernier, sa marche?

Posté par
boostbasketre : Fonction spécifique 01-06-09 à 22:41

Ha d'accord, aucun poblèmes

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonction spécifique 01-06-09 à 22:41

Oui et c' est ce qu' il faut montrer:

En écrivant \delta (f)(x)=\Bigsum_{k=0}^q a_kx^k

et en utilisant \frac{1}{n^q}\delta(f)(nx)=\delta (f)(x)

Tu devrais arriver à tes fins...

Posté par
boostbasketre : Fonction spécifique 01-06-09 à 22:49

J'ai raisonner de cette manière, je pense qu'en faisant tendre n vers l'infini a x fixé on trouve le résultat ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonction spécifique 01-06-09 à 22:55

Ben je voyais ça autrement:

On a pour tout n\in\mathbb{N}^* avec l' égalité des coefficients d' ordre k de chaque membre:

\frac{a_k}{n^{q-k}}=a_k

Donc si k\not=q, a_k=0

Posté par
boostbasketre : Fonction spécifique 01-06-09 à 23:08

Oui sa marche aussi, et c'est même plus clair


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