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Fonction , Théorème des accroissements finis, parité , bijectivi
bonjour je suis un nouveau membre de ce forum et ça me fait tellement un honneur , après avoir jeter un coup de oeil pas mal de fois sur la manière de votre interprétation des solutions des exercices , j'ai adoré votre maniere d'expliquer et surtout de donner des solutions d'une maniere fluide et très simple , donc en faisant un devoir maison j'ai tombé sur le dernier exercice dont j'ai pas pu le faire depuis la premiere question et je vous pris de m'aider svp si vous pouviez biensur et si vous avez le temps de m'aider merci 
(dsl pour mon français , pck je ne suis pas francophone)
EXERCICE
soit f R=>R la fonction définie par f(x)= ln(x + racine carré(x²+1) )
1-montrer que Df= R et que f est impaire.
2-dresser le tableau de variation de f.
3-montrer que f est bijective de R sur R
4-montrer que f-1(x) = (exp(x)-exp(-x))/2 ,qlq soit x appartient à R
5-En utilisant le théorème des accroissements finis , montrer que:
x/(racine carré(1+x²)) <ln(x + racine carré(x²+1)) <x qlq soit x>0
Df= R mais on dois la démontrer ainsi que pour la parité est ce que vous pouvez me faire une démonstration avec la fonction qu'on a parceque je connais déjà la définition de la parité
bien
la présence du ln impose que x+V(1+x²) > 0
a) pour x>=0 ceci est vrai : somme de 2 termes >=0 dont l'un est >= 1
b) pour x négatif :
x+V(1+x²) = x+V( x²(1+1/x²) ) = x+(Vx²)(V(1+1/x²)) = x + |x|V(1+1/x²) = x-xV(1+1/x²) = (-x).( V(1+1/x²) - 1 )
remarque : comme x est négatif, V(x²) = |x| = -x que je mets ensuite en facteur
la parenthèse ( V(1+1/x²) - 1 ) est positive puisque 1+1/x² est supérieur à 1, sa racine aussi et la différence avec 1 est donc positive strictement
comme (-x) est positive strictement puisque x négatif strictement, x+V(1+x²) est strictement positif
on déduit ainsi que le Domaine de Définition est R puisque x+V(1+x²) est toujours strictement positif pour tout x réel
tu essaies la parité ?
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