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Fonctions

Posté par Lau (invité) 21-10-06 à 16:16

Bonjour à tous,

Alors voilà j'ai un DM à faire et je ne comprends pas...

Pour tout entier naturel n2, soit fn la fonction définie sur [0;1] par fn(x)=x^3-2nx+1
a) Démontrer que l'équation fn(x)=0 admet une unique solution an dans l'intervalle [0;1]

b) Démontrer que pour tout entier naturel n2, an\frac{1}{n}. (On pourra comparer fn(an) et
fn(\frac{1}{n})).

c) En déduire que la suite (an) est convergente et préciser sa limite.


La question a), j'ai fait la dérivée de f, ensuite j'ai fait mon tableau de variation, et j'ai trouvé  mais pour la question b je suis bloquée, quelqu'un peut m'aider s'il vous plait .

Merci
Lau

Posté par
fusionfroidere : Fonctions 21-10-06 à 16:31

Salut,

4$a_n est solution donc vérifie : 4$a_n^3-2na_n+1=0

Donc pour 4$n \ge 2, 4$a_n=\frac{1}{2n}+\frac{a_n^3}{2n}=\frac{a_n^3+1}{2n}

Or, comme 4$a_n \in [0,1], alors 4$a_n^3+1 \le 2

Donc 4$a_n \le \frac{2}{2n}=\frac{1}{n}

Posté par Lau (invité)re : Fonctions 21-10-06 à 16:36

Merci beaucoup...

Pourrais tu me dire la forme simplifiée de \frac{6V6}{9}-\frac{2V6}{3}+1 avec V=
je n'arrive pas à simplier avec les racines

Posté par
fusionfroidere : Fonctions 21-10-06 à 16:39

ca fait 1

car : 4$\frac{6\sqrt{6}}{9}-\frac{2\sqrt{6}}{3}=\frac{2\sqrt{6}}{3}-\frac{2\sqrt{6}}{3}=0

Posté par Lau (invité)re : Fonctions 21-10-06 à 16:45

j'ai du me tromper dans une simplication ça doit faire -.088

(\frac{V6}{3})3 - 2 (\frac{V6}{3})+1

Posté par
fusionfroidere : Fonctions 21-10-06 à 19:42

Dans ce cas ça change tout

4$(\frac{\sqrt{6}}{3})^3=\frac{6\sqrt{6}}{27}

Donc :

4$(\frac{\sqrt{6}}{3})^3-2\frac{\sqrt{6}}{3}+1=\frac{6\sqrt{6}}{27}-2\frac{\sqrt{6}}{3}+1=\frac{6\sqrt{6}-18\sqrt{6}}{27}+1

Je te laisse continuer


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