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Fonctions composées, dérivation

Posté par
john_kennedy 26-08-07 à 17:25

Bonjour,

je bloque sur un énoncé, je ne sais pas trop comment procéder pour répondre à la question.

Voici le problème:

Citation :
Soit \phi (t) = \frac{1-sin^{2}(t)}{2+sin(t)}
On considère l'intervalle I = ]-\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2}[

Soit f(x) = \frac{1-x^{2}}{2+x}

Prouver l'existence et l'unicité de \alpha réel appartenant à I tel que \phi'(\alpha) = 0


J'ai pu montrer que f' était strictement décroissante et que \phi'(t) = f'(sin(t)).cos(t)
Pour prouver l'existence et l'unicité de ce alpha, il faudrait montrer que la fonction est continue sur I et strictement décroissante, mais c'est du calcul pur et dur et je suis sûr que y'a beaucoup plus rapide. Mais comme je ne me rappelle plus trop des théorèmes sur les fonctions composées...

Une idée?
Merci,

JFK

Posté par
infophilere : Fonctions composées, dérivation 26-08-07 à 17:42

Salut

Tu as montré que f est décroissante sur I ?

Alors comme x-> g(x)=sin(x) est croissante sur I on a fog décroissante sur I.

Posté par
Nightmarere : Fonctions composées, dérivation 26-08-07 à 17:42

Bonjour

Si tu as prouvé que f' était strictement décroissante alors pas besoin de montrer la continuité de f'.

En effet, le théorème de Darboux nous dit que la dérivée d'une fonction vérifie le théorème des valeurs intermédiaires.

Il te reste plus qu'à montrer qu'il existe deux réels dont les images sont de signe opposé et c'est réglé.

Posté par
infophilere : Fonctions composées, dérivation 26-08-07 à 17:43

Ok j'ai lu de travers

Salut Jord

Posté par
Nightmarere : Fonctions composées, dérivation 26-08-07 à 17:44

Salut kevin

Je pense simplement que john_kennedy c'est mal exprimé.

Posté par
john_kennedyre : Fonctions composées, dérivation 26-08-07 à 17:55

Citation :
En effet, le théorème de Darboux nous dit que la dérivée d'une fonction vérifie le théorème des valeurs intermédiaires.
Il te reste plus qu'à montrer qu'il existe deux réels dont les images sont de signe opposé et c'est réglé.


Donc pas besoin de prouver la stricte décroissance de \phi'? Seulement montrer qu'il existe deux réels dont les images par \phi sont de signe opposé et ca suffit?

Posté par
john_kennedyre : Fonctions composées, dérivation 26-08-07 à 17:56

*dont les images par \phi'*

Posté par
Nightmarere : Fonctions composées, dérivation 26-08-07 à 18:21

On veut bien prouver que la dérivée s'annule non? Ou tu veux montrer que la fonction s'annule? Si c'est bien la dérivée, il faut montrer la stricte monotonie qui suffit (mais qui n'est pas necessaire) à l'unicité du zéro)

Posté par
Bourricotre : Fonctions composées, dérivation 26-08-07 à 18:33

Et

(v o u)'(x) = u'(x)v'(u(x))

Posté par
john_kennedyre : Fonctions composées, dérivation 26-08-07 à 18:42

Je veux prouver que \phi' s'annule en un unique point \alpha de I. En effet pour prouver cette unicité, il faut prouver la monotonie de \phi'.


Mais comment je la prouve avec l'expression \phi'(t) = f'(sin(t)).cos(t) ? (expression démontrée dans la question précédente et qu'il faut réutiliser j'imagine).

Dire que f' est strictement décroissante suffit ou pas?

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonctions composées, dérivation 26-08-07 à 18:54

Bonjour

Oui et cos\,t ne s' annulle pas sur ]-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}[

Et f'(x)=-\frac{x^2+4x+1}{(x+2)^2} qui s' annulle pour -2\pm\sqrt{3}

f'(sin\,t) et donc \phi(t) s' annulle donc une unique fois sur ]-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}[ pour sin\,t=\sqrt{3}-2

Ou je me trompe ?

Posté par
john_kennedyre : Fonctions composées, dérivation 26-08-07 à 19:03

Ca a l'air d'etre ca, j'avais oublier que f'(sin t) = \phi...

Merci à tous!

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonctions composées, dérivation 26-08-07 à 19:04

...la dernière partie se justifiant en appliquant le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction sinus croissante et continue sur l' intervalle ]-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}[


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